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【有趣數學系列】 e 是甚麼?

2017/9/19 — 13:28

網絡圖片

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e 是甚麼?不就是英文字母中的第五個!也是的,不過小弟今日想談的是另一種「文科」——數學中的「字母」 e ,又叫歐拉常數 Euler’s number* 。

e 這個「數學字母」大家高中讀數學或許見過(香港現在DSE 好像只有額外加修課程才有修讀,在必修課程之外,不像以前理科班 CE/A-level 屬接近必修課程。真的不知還有多少學生會讀…),但除了知道它是一個不循環、無限長、寫不盡,數值大概為 2.7182… 的小數外,大家對 e 這個無理數又有多少認識和了解呢? π 大家就知是圓周率,與計算圓形的圓周、面積等有關,那 e 呢?為何要無緣無故「發明」一個「字母」去代表這個無理數?以下小弟這個「偽.數學家」會嘗試解答一下這些問題 。

歐拉常數的「生平」

在開始談甚麼是 e 與它的應用前,小弟想先介紹一下歐拉常數的「生平」。 歷史上第一次「提到」 e 這個常數的其實是另一位數學家約翰‧拿皮爾 (John Napier) 。他在 1618 年出版關於對數 (logarithm) 的數學著作中的附錄裡有一個數表寫了一堆數字與它們自然對數 (natural logarithm) 對應的值。為何要用「提到」?因為拿皮爾其實沒有明確地指出 e 這個數與對數的 base 是甚麼,而且在那時人們對對數的概念跟現在很不同。雖然後來 e 在對數相關研究文獻中都有被間中應用與「提及到」,但真正發現 e 這個數的公認是瑞士數學家雅各布·伯奴利 (Jacob Bernoulli) 。歐拉常數 e 是與極限和無限有關,數學上定義為下面公式:

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後來數學家歐拉做了不少和這個無理常數相關的研究,包括找出並證明這個無理常數的冪級數 (power series) 是甚麼,用這個無理常數去表達虛數 (imaginary number) 等,同時間他為了方便書寫和通訊開始用字母 e 去代表這個無理常數。由那時開始用e代表這個無理數逐漸成為標準與潮流,亦因為這樣 e 這個數後來被命名為歐拉常數,雖然後人好像不大重視與留意歐拉的事蹟、貢獻,還拿他來開玩笑,見下圖:

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Credit: SMBC comics

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好啦,說回數學, e 這個數其實甚為特別,與其他數學「字母」 π 或黃金比例 φ (golden ratio) 不同,它本身定義上是與幾何形狀無關。 e 定義上是和變化率 (rate of change) 有關,而且它其實起源於一個和日常生活息息相關的經典經濟學問題。

歐拉常數有甚麼用?

相信大家小學、初中應該都學過甚麼是利息,尤其是複利率 (compound interest) 。複利率這種計息方法就是指除了本身本金外,本金所衍生出來的利息一樣會計息,「利疊利」就好像滾雪球,電影《食神》發達大計「上市集資,然後分拆公司再上市再集資」般。假設銀行年利率是 100% ,你存入一元本金,那在單利息的情況下一年後你會得到的金錢包括本金就是 2 元;但在複利率計息下,如果計息期拆做半年,而利率改為 50% ,你最後得到的金錢就會是 (1+0.5)2=2.25 。說了這麼久,那究竟 e 與複利率有甚麼關係呢?聰明的你/妳或許由 e 的數學定義已經看出來了吧!試想像複利率中的計息期越縮越短,例如由一年減至一個月,一日甚至無限小,但收息年期不變,那你最終得到的利息是多少?無限大?

不對,這問題答案其實就是 e 。雖然計息期無限小代表你收息次數有無限多次,但同一時間每次計息時的利率都會變得無限小。兩者某程度上會抵消,所以雖然計息期不斷分拆縮短會增加年期完結後最終的利息收入,但增幅是有極限,而這個極限就是 e ,如下圖般:

詳細討論與講解可以看以下短片:

歐拉常數是數學裡其中一個最重要的常數。除了計算複利息, e 在數學上很多範疇如統計學、微積分也常用到和很重要,而且它還可以用來表達虛數,例如數學上公認其中一條最美麗的公式「歐拉恆等式 (e +1 =0)」。

而在物理學或生活上好像放射性位元素一分鐘內衰變的頻率、半小時內有多少傷者病人入急症室,甚至是一個城市人均收入這類統計學例子與圓周運動等背後理論都會應用到 e 。所以 e 真的很有用和無處不在的喔!

最後送首 geeky 的「歐拉之歌」給大家:

今次說到這裡,下次再談。

 

引伸延讀︰

  1. University of St Andrews, The number e (歐拉常數歷史)
  2. YouTube, What is the Number e?

*以「神人」瑞士數學兼物理學家里昂哈特.歐拉 (Leonhard Euler) 命名的數字和理論其實還有很多,請不要搞混 e 與另一個「字母」歐拉—馬斯卓朗尼常數 γ (Euler-Mascheroni constant)

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