立場新聞 Stand News

無限是甚麼?

2017/2/16 — 14:40

圖中畫作來源:MC.ESCHER

圖中畫作來源:MC.ESCHER

我想大家都至少有個概念無限是甚麼,簡單就好像由 1, 2, 3 ⋯⋯不停地數下去數到世界未日也繼續數下去那樣。這個概念即使小朋友也大概理解到。但「無限」並非這樣簡單,你又知不知道無限也有分不同種類?

首先無限不是一個數字 (number) ,它是一個概念,你不應該用你對數字固有的概念去理解它。不單如此,無限還分不同種類,最簡單分兩類:可數無限 (countable infinity) 和不可數無限 (uncountable infinity) 。可數無限包括之前所講由 1, 2, 3 ⋯⋯那個例子,而負數和分數亦是。所有分數都「數得到」,但 1/1, 1/2, 1/3 ⋯⋯怎樣數到 2/3 或者 3/4 ?可以的,只要動下腦筋就可以(答案請見下面 youtube )但不是所有無限都可以「數得到」的。

picture from Cambridge Alumni Magazine

picture from Cambridge Alumni Magazine

廣告

這些「數不到」的無限就是不可數無限。實數線 (real number line) 上面的數,好像小數便是其中一個簡單的例子。要證明它們「數不到」,我們可以先假設它們「數得到」並把它們全部寫下來,好像 0 至 1 中間的數。然後我們把排第一那個數的第一個數字,排第二那個數的第二個數字,…如此類推地抽出並根據排位組合成一個數。我們再將這個數入面的 1 改成 2 ,不是 1 的改成 1 。簡單推理一下,我們可以看到我們一開始寫下來的數是不包括這個新組成的數的。由此可見,實數線上面的數的確是無限多、「數不到」的。 更甚我們推論出不可數無限比可數無限大。詳細解釋請見:

廣告

有些無限(不可數無限),大過某些無限(可數無限)這個事實的確甚為奇怪,連發現這個「怪象」的數學家格奧爾格·康托爾 (Georg Cantor) 晚年都因為這個原因而精神失常(好似係)。除此之外,康托爾還深入研究連續統假說 (continuum hypothesis) ,一個想爆頭到現在還沒有辦法證明錯與否的猜想。連續統假說簡單講就是說不存在一組無限大的數是同時大過整數又細過實數。這個假說涉及數學上頗深奧的集合論 (set theory) ,在不同集合論的基礎下,證明它錯與否的結果可以很不同。所以總括來說,這個假說又是數學上一個未解,甚至永遠不會有答案的問題。詳細比較嚴謹的解說請見以下:

想爆頭的無限悖論

甚麼是無限這個問題甚至是哲學問題,有興趣可以看看下面 youtube 提及的悖論 (paradox) 。好像希爾伯特旅館悖論 (Hilbert’s paradox of the Grand Hotel) ——假設有一個擁有可數無限多個房間的旅館,且所有的房間均已客滿,那究竟這間旅館還可不可以再容納新的客人呢?

小弟雖然 title 叫 PhD ,但這個 title 不是指 Doctor of Philosophy ,所以這些哲學問題還是留給哲學家研究啦!

物理學上的無限

物理學上也有涉及無限這個東西,但除了應用在運算過程或方法外,它們通常不具有物理學上的意義。它們的出現大多表示到達了理論上面的界限,需要考慮新的理論/東西去取代舊理論並解釋,好像牛頓重力學中當距離為零的重力勢位 (gravitational potential) 和黑洞的最中心奇點。不過也有例外,好像量子場論 (Quantum Field Theory) 當中的重整化 (Renormalisation) 就是例子。量子場論和重整化是什麼?簡單說量子場論就是量子力學的升級版,加入了量子力學沒有考慮的狹義相對論中的原素。而重整化就是怎樣將量子場論計算當中無可避免會出現的無限變做有限、物理學上有意義的結果的方法。詳細有機會下(或下下下下⋯⋯)次再講。

最後,雖然我不知道現實物理學世界裡無限是真實存在,抑或只是數學上的概念,但正如愛因斯坦所說,世界上至少有一樣東西肯定是無限的,就是人類可以有幾愚蠢:

Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I’m not sure about the universe. — Albert Einstein

原刊於作者博客

作者 facebook 專頁

發表意見