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非常簡單的代數基本定理告訴了我們什麼?

2018/2/28 — 10:22

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自古人類發現數字有多種用途,不論農業、交易均要用上數字。自然數 (Natural number) 於是自然而然誕生。

然而,古人有日不幸碰上一個問題: 5 + ? = 2 。用盡十指十趾仍然無法解決這道難題,古人終究發現只有自然數是遠遠不夠的。於是,人類設計負數,好使將來遇到類似問題都能迎刃而解。

人類後來還將整數擴張至有理數 (Rational number) 、實數 (Real number) 。又有一日,古人倒霉碰上另一個問題: a² + 1 = 0 。人類發現無論 a 是正數、負數、零,這道算式都無法成立。

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這時,有人大膽創造出 i : i² =  -1 。當時不少數學家無法接受如此違反直覺的數字,因此 i 又名虛數 (Imaginary number) 。

直至 18 世紀的數學家歐拉花上不少時間研究虛數,人類才發現虛數有趣。數學家高斯更破天荒使用坐標圖像表達虛數,並將這些趣怪的數字起名為複數 (Complex number) 。

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除了有高斯將複數應用到數論上,同樣鼎鼎大名的數學家柯西亦鑽研涉及複數變數的微積分(當你學習大學的複分析就會發現柯西無處不在,呵呵)。越來越多數學家研究複數,更讓我們發現使用複數能在數學上獲得更宏觀、完整和諧的畫景。

然而,哪知道哪日某個未來人會遇上如 aⁿ+ 198472 a + 29847102 i = 0 等問題,萬一發現複數不夠用,到時候豈不是要再次擴張數字…這樣不就永無寧日嗎?

答案是:不怕。

原來數學有條叫做「代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra) 」的著名定理為我們定驚:

簡單來說,這條定理說明了所有複數係數的多項式都會有一個複數根。透過因式分解,我們更可以進一步推論出所有複數係數的多項式都會有次冪多個根(最高次方是 n 就有 n 個根),且它的所有根都是複數。

因此,這條看似非常簡單無聊的定理告訴了人類一個重要的事實:以後遇上各種奇異的實數係數多項式甚至是複數係數多項式,我們都不需要再次擴張數字系統,所有根都在複數之中。

P. S. 1 將來我可以補充一下人類的「數字擴張血淚史」。

P. S. 2 大家可以觀賞一下上述的代數基本定理證明,網上有許多版本可供閱讀。值得一提比較簡單的證明版本都是以複分析理論推論,因此有不少人覺得這條定理實為「假代數;真分析」。

原刊於作者博客

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