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Pi 是永恆 (二)

2016/5/17 — 8:00

阿基米德 / Wikipedia

阿基米德 / Wikipedia

上回我說亞視永恆。但我錯了,亞視已執粒。不過圓周率  π  卻是真的永恆,不會錯。

今次我們來看看,在公元前兩百多年,阿基米德 (Archimedes) 是如何計算  π 。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion),但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 π  像夾三文治般夾出來。

首先,想像有一個半徑為 R 的圓形,在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出,外面較大的正方形邊長為  2R 、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑,長為  2R

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畫得樣衰,sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。

畫得樣衰,sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。

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我們想要知道圓周,那就可以計算 π = C/(2R)  = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 C 比內正方形週界 p 長、比外正方形週界 P 短。因此

p  ≤ C ≤ P 。

那麼,p 和  P 分別有多長?在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知  b =  R sin θ  和  B = R tan θ 。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 n = 4 條邊,因此  p = 2n × b 、 P = 2n × B 、 θ = 360/(2n) = 360/8 = 45 度。所以我們就有

2nbC ≤ 2nB

2nR sin [360/(2n)] ≤ C ≤ 2nR tan[360/(2n)] ,

n sin(180/n) ≤ / (2R) ≤ tan(180/n) 。

所以,當我們使用 n = 4 的正方形去夾圓形時,就可以知道  π = C/(2R)  介乎 4 sin(45) ≈ 2.828 和  4 tan(45) = 4  之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 n 去逼近   ,π 如下圖:

想像當 n 越來越大,外內圖形就會越來越像一個圓形。當 n 趨向無限大時,我們就有

limn→∞  sin(180/n) ≤ C/(2R) ≤ limn→∞tan(180/n) 。

我們嘗試計算 limn→∞  sin(180/n)  和  limn→∞ tan(180/n) 。把兩式各乘以 (180/180),就有

limn→∞  n sin(180/n) = limn→∞ 180 × sin(180/n)/(180/n)

以及

limn→∞tan(180/n) = limn→∞ 180 × tan(180/n)/(180/n) 。

我們可以把  180/n  叫做 x ,所以 n 趨向無限大就即是 x 趨向 0。如果各位有學過極限,就必定學過  limx→ tan(x)/x = 1  和  limx→0 sin(x)/x = 1 ,這是考試必考之題 (嗱,我貼緊題喇)。於是我們就有答案

180 ≤ C/(2R) ≤ 180 ,

即是 π = C/(2R) = 180 度,用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義,即是  C/(2R) = π  rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾,得出  π  介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算,如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾,得出 π 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。

電腦計算出用正多邊形的三文治方法夾出來的圓周率。紅點是下限、藍點上限、紫色直線是圓周率的真正數值。

電腦計算出用正多邊形的三文治方法夾出來的圓周率。紅點是下限、藍點上限、紫色直線是圓周率的真正數值。

這就是如何用窮盡法去找出圓周率 π 。下次再介紹多些  π  的趣事。

π 是永恆。

 

延伸閱讀:

古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點》/余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》/余海峯

三角 X 斜率 X 微積分》/余海峯

加菲證明畢氏定理》/余海峯

原文刊於作者博客

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