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都卜勒效應 (Doppler effect) 及其兩種哲學解讀

2018/3/16 — 16:15

甚麼是聲音?這是聲音哲學所探討的其中一個核心問題。哲學家對此問題所提出的各種理論,我們應該用甚麼方法去評價呢?一種方法是將由理論推演出來的結果與我們的直覺作比較,看看理論對聲音的描述會否有違直覺。當然,我們的直覺可能有其自身的問題,例如沒有內在的一致性,令到任何內在一致的理論都必然地與直覺相左。然而,當理論嚴重違反直覺時,也可能反映了理論所描述的「聲音」跟內在於直覺的「聲音」根本是兩個不同的概念,各自指稱着不同的事物。當我們問「甚麼是聲音?」時,如果我們關心的是「聲音」這個日常概念所指稱的是甚麼,但某個聲音理論只以它提出的另一個「聲音」來回應問題,那麼這樣的一個理論便偷換了話題,並沒有直正回應我們關心的問題。

這篇文章要做的,就是探究根據兩種不同的聲音理論去理解都卜勒效應 (Doppler effect) 時,其理論後果與我們的直覺是否相容。固然,我們難以定立一個精確的標準去判斷如何才算得上「嚴重」違反直覺,但假如一個我們充滿信心的理論,原來出乎意料地有違我們的直覺,這也許就反映了我們應該適當地調整一下對這個理論的信心了。

都卜勒效應

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都卜勒效應是一個頗有名的聲波現象。要理解背後的原理,我們需要先辨別以下各個變量:

f         頻率 (frequency) ,以一秒內的次數計算

fw      聲波 (sound Wave) 自身的頻率

fs       聲源 (sound Source) 振動的頻率

fo       觀察者 (Observer) 耳膜受聲波鼓動的頻率

v        速度 (velocity) [1]

vw      聲波於介質 (medium) 中傳遞的速度,也就是音速

vs       聲源相對於介質的速度

vo      觀察者相對於介質的速度

       週期 (period) ,等於時間除以頻率(1/f)

Tw     聲波自身的週期,等於連續兩道聲波的波峰 (wave crest) 之間的時間差 (1/fw)

Ts      聲源振動的週期,等於聲源連續兩次振動之間的時間差 (1/fs)

To      觀察者耳膜受聲波鼓動的週期,等於觀察者耳膜連續兩次受聲波鼓動的時間差 (1/fo)

λ        波長 (wavelength) ,即連續兩道聲波的波峰之間的空間距離,等於音速除以聲波自身的頻率 (vw/fw) ,亦等於聲波以音速在一個聲波週期內能夠行進的距離(vwTw

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接下來,我們看看兩種不同的都卜勒效應。

一.聲源移動、觀察者靜止

當一輛響着警號的消防車在你身旁駛過時,你會聽到警號的音高突然變低了。為甚麼呢?簡言之,當聲源前進時,聲波的頻率 (fw) 會隨之改變 — 前方的聲波頻率變高,後方的聲波頻率變低。當消防車駛過時,你便由在消防車的前方變成在它的後方,所以會聽到警號聲由較高變成較低的過程。

背後的原理其實並不複雜。根據聲源發出聲波的頻率 (fs) ,我們可以求得聲源振動的週期 (Ts) 等於 1/fs 。由聲源開始製造第一道聲波算起,一個週期內,第一道聲波經過了的距離就是音速乘以時間 vwTs = vw/fs ,而聲源移動了的距離就是車速乘以時間 vsTs = vs/f。經過一個週期後,聲源開始製造第二道聲波。此時,聲源與第一道聲波之間的距離便是第一道聲波與第二道聲波之間的距離,也就是波長。因此,我們可將第一道聲波經過了的距離 (vw/fs) 減去聲源移動了的距離 (vs/fs) ,這樣便可求得聲源前方的波長 (λ) :

由於波長等於音速除以聲波自身的頻率 (vw/fw) ,我們可以找出 fw 與 f之間的關係:

這算式中,  vw/(vw – vs) 的分子大於分母,因此其數值大於一,可見聲源前進時,前方的聲波的頻率 (fw) 比聲源振動的頻率 (fs) 高。

相對地,聲波後方的波長等於聲波經過的距離加聲源移動的距離:

故此 fw 與  f之間的關係是:

因此聲源後方的聲波的頻率 (fw) 比聲源振動的頻率 (fs) 低。

由於在這情況,觀察者聽到的頻率就是聲波的頻率 (fw=fo) ,她就會聽到音高由高變低。

圖一

(a). 聲源 (S) 靜止時,各方向的波長(綠線)均等;
(b). 聲源向前(圖中右方)移動,前方的波長(紅線)縮短,後方的波長(藍線)增長;
(c). 各段波長的比較。

二.觀察者移動、聲源靜止

除了聲源移動,觀察者移動也會出現都卜勒效應。當你駕着車經過停靠在路邊的消防車時,你也會聽到警號的音高突然變低。在這情況下,聲波的頻率 (fw) 和聲源振動的頻率 (fs) 都沒有因你的活動改變,那麼為甚麼你會聽到音高上的變化呢?原因是你和介質的相對活動改變了你和聲波的相對速度:當上一道聲波剛好傳到你的耳膜時,你跟下一道聲波的距離剛好等於一段波長 (λ) 。若你這時以速度 v­靠近聲源,你和下一道聲波的相對速度便是音速 (vw) 加上你自身的速度 (vw + ­v­o) ,而你和該聲波就是以此相對速度縮短距離 (λ) 。既然我們已經知道距離和速度,只需將前者除以後者便可得知你的耳膜受連續兩道聲波鼓動的時間差 (To) :

由於波長等於音速乘於聲波週期(vwTw),我們可求出 T與 T的關係:

由於週期等於時間除以頻率 (T = 1/ f) ,上式亦可用頻率表達,以顯示你的耳膜受聲波鼓動的頻率 (fo) 與聲波自身的頻率 (fw) 之間的關係:

上式中,  (vw + vo)/vw 的分子比分母大,故其數值大於一。可見 f比 f大,代表我們的耳膜受聲波鼓動的頻率比聲波本身的頻率高。

相同道理,當你逐漸遠離消防車時,在你背後的聲波會逐漸追上你。[2]情況就像 4×100 接力選手交棒時,上一棒的選手要追上已經開始走向前的下一棒選手。假設這一刻你的耳膜剛受到上一道聲波鼓動,你和下一首聲波的距離剛好就會是聲波的波長 (λ) 。你和該聲波就是以相對速度 (vw - ­v­o) 縮短距離 (λ) 。我們只需將距離除以相對速度便可得知你的耳膜受連續兩道聲波鼓動的時間差 (To) :

由於波長等於音速乘於聲波週期 (vwTw) ,我們可求出 To 與 Tw 的關係:

由於週期等於時間除以頻率 (T = 1/ f) ,上式亦可用頻率表達,以顯示你的耳膜受聲波鼓動的頻率 (fo) 與聲波自身的頻率 (fw) 之間的關係:

上式中,  (vw - vo)/vw 的分子比分母小,故其數值小於一。可見 f比 f小,代表我們的耳膜受聲波鼓動的頻率比聲波本身的頻率低。

綜合兩種都卜勒效應

綜合以上兩種都卜勒效應,我們可以整理出一條統合的算式去描述聲源振動的頻率和觀察者耳膜受聲波鼓動的頻率之間的關係:

觀察者向聲源移動時 v­o 為正數,反方向為負數;聲源向觀察者移動時 v­s 為負數,反方向為正數(圖二)。

圖二

聲源 (S) 和觀察者 (O) 相對於介質的運動方向分別與 v­s 及 v­之間的正負關係。

聲音哲學的解讀

了解過都卜勒效應的基本原理後,我們接下來便看看兩種聲音哲學理論如何解讀這個聲波現象。

遠端理論

遠端理論 (distal theory) 認為聲音是聲源的屬性或者發生在聲源上的事件,而聲波只是我們賴以感知聲音的媒介。支持遠端理論的哲學家 Casey O’Callaghan (2007,p. 108) 認為,兩種都卜勒效應都牽涉到錯覺:無論聲源還是觀察者相對於介質的運動都沒有改變聲源的屬性或者發生在聲源上的事件,亦即沒有改變聲音,但都卜勒效應令到聲波未能準確地傳遞有關聲音的資訊給觀察者,所以觀察者會聽到不同的音高。

觀察者的運動明顯地不能改變聲源及其對介質的影響;至於聲源的運動, O’Callaghan 提出了兩個理由去證明不會對聲音構成影響。首先,在聲源上,與音高相關的是其自身振動的頻率,但不見得這方面會受到聲源的線性運動影響。

第二,我們姑且退一步,假設聲源的運動會影響它對周圍介質的擾動,亦即是改變了聲音的音高,因此觀察者並沒有錯覺。既然如此,觀察者之所以在聲源前後會聽到不同的音高,必然是因為聲源前後的不同部位會因為其自身的運動而以不一致的頻率擾動鄰接的介質,但我們實在無法看出聲源的線性運動能有這種效果 (pp. 106-107) 。

為了加強 O’Callaghan 的論證,我們可以再進一步指出,假如聲源的不同部位真的以不一致的頻率擾動鄰接的介質,觀察者理應同一時間聽到不止一個頻率的聲音。這是因為聲波不會只沿着一條直線行進,而是會向周圍擴散的,所以不同部位發出的聲音是可以經聲波傳到同一位觀察者耳中,但這明顯有違事實。跟據歸謬法,我們可以下結論說聲源的運動不會影響它對周圍介質的擾動,故無法改變聲音的音高。

遠端理論將都卜勒效應界定成錯覺的一例是否恰當呢? O’Callaghan 首先撇開遠端理論,嘗試中立地反思一般人遇上都卜勒效應時會作出甚麼反應。當火車經過身旁時,我們聽到汽笛聲的音高突然變低,我們不會真的以為汽笛聲剛好在那一瞬間變了調子,我們亦不認為車上的乘客和旁觀者聽到不同的音高是因為他們聽到不同的聲音。遇到這樣的情況,我們很自然便會判斷聲音實際上是一樣的,只不過聽起來有音高上的差異。這種判斷難道不合理嗎?一般人對都卜勒效應的這種反應,顯示了我們作出有關聲音的事實判斷時,會將「聲音聽起來是如何」修正成「聲音實際上是如何」。也就是說,在都卜勒效應的影響下,我們原本對聲音的感知是需要被修正的錯覺。由於遠端理論可以進導出與這個分析結果一致的結論,因此遠端理論將都卜勒效應界定成錯覺是合理的 (p. 107) 。

O’Callaghan 的論證有一個問題。的確,我們對聲音作出事實判斷時,不會直接將「聲音聽起來是如何」當成「聲音實際上是如何」,但這並不足以證明都卜勒效應是錯覺。套用視覺的例子,當我見到一枚斜對着我的硬幣時,在第一種意義下,硬幣的形狀「看起來」是橢圓形,但在第二種意義下,硬幣的形狀「看起來」是圓形。這是因為「看起來」不只有一種意思。我們的視覺系統以一個橢圓形的影像去呈現一個圓形的硬幣。當我將重點放在視覺經驗如何呈現那枚硬幣,我會說硬幣的形狀「看起來」是橢圓形;而當我將重點放在視覺經驗的內容,我會說硬幣的形狀「看起來」是圓形。我們從來不需要由視覺經驗將硬幣呈現成橢圓形去推論出硬幣是圓形——我們直接就能夠看到硬幣是圓形。我們反而需要有意識地像個畫家一般,將注意力從外在世界轉移到映入眼裡的光影分佈,才會留意到硬幣看起來是橢圓形。雖然硬幣在這意義下看起來是橢圓形,但我們不會認為這是一種錯覺。

當都卜勒效應讓聲音「聽起來」改變了音高,這個「聽起來」似乎只能夠對應上面第一種「看起來」,但這樣並不足以支持 O’Callaghan 「都卜勒效應是錯覺」這個結論。根據我自己的經驗,在聲源經過觀察者或觀察者經過聲源的情況,我的聽覺系統好像懂得自動排除都卜勒效應的影響,令聲音雖然在第一種意義下「聽起來」變低了,但我不會誤以為聲音真的改變了音高,這似乎算不上錯覺。而在聲源或觀察者沒有經過對方的情況下,雖然聲音在第一種意義下「聽起來」較高或較低,但在我沒有特別想起都卜勒效應時,我根本不會意識到聲音的音高聽起來比實際的高音高了或低了,這情況便顯得很適合歸類為錯覺。相信不只我一個人對相關的經驗有這種直覺判斷。

可能我們判斷聽覺感知是否錯覺時,不可以單純地根據其對應的物理現象去判斷。也可能是聽覺感知的分類和其對應的物理現象的分類,兩者之間存在着比 O’Callaghan 所想更複雜的關係。當然,其他人的經驗可能跟我不一樣,但這無礙於我對 O’Callaghan 的論證的質疑 — 除非所有人的聽覺經驗都符合他的描述,否則他便未能充份證明都卜勒效應全都是錯覺。這樣,遠端理論將都卜勒效應解讀成錯覺便是不符現實。

我們接下來再看看另一種聲音理論怎樣解讀都卜勒效應。

波理論

波理論 (wave theory) 是指將聲音等同於聲波的理論,相信亦是大眾最熟悉的說法。波理論之所以為人熟悉,最大的原因很可能是來自科學界。物理科學一般為聲音作出定義時,都會採取波理論的立場。然而,哲學家 Robert Pasnau 在他於 1999 年發表的論文〈甚麼是聲音? (What is sound?) 〉中,列出了不少科學文獻的例子,指出科學家的立場有時候與波理論並不相容 (pp. 318-319) 。因此,為減少誤會,特此說明以下只就波理論的核心主張「聲音等於聲波」作出討論,不一定與你在科學著作能夠見到講法一致。

採取波理論去理解都卜勒效應的一個有趣後果,是雖然上面提過的兩種都卜勒效應都會令觀察者聽到的音高變高,但只有第二種情況牽涉到錯覺。為甚麼?

在第二種都卜勒效應下,聲源振動的頻率等於聲波的頻率。聲源及聲波都沒有因為觀察者的運動而改變,只是觀察者耳膜受聲波鼓動的頻率因為觀察者自身的運動而改變,但聽覺系統卻將這後果呈現成聲音本身的變化。這便成了一種錯覺,因為對聲音的感知內容不反映聲音(聲波)的客觀事實。

至於第一種都卜勒效應,聲源的運動改變了聲波在介質中的動態分佈,也就是說介質的不同部分客觀地以不同的頻率振盪。由於波理論認為聲音就是聲波,不同位置的聲波有差異就等如不同位置有不同的聲音。雖然不同位置的觀察者的主觀聽覺經驗在音高上有分別,但這乃是聲波的客觀差異所造成的後果。因此,這種都卜勒效應並沒有令我們對聲音(聲波)的感知出錯,故是一種真確的感知 (veridical perception) 。

前一部分對 O’Callaghan 的質疑中,我提出過在都卜勒效應的影響下,我們的感知是否錯覺似乎取決於聲源和觀察者有沒有經過對方。這質疑同樣適用於波理論對都卜勒效應的分析。波理論按都卜勒效應的分類判斷我們的感知是否錯覺,但其判斷結果並不對應我在前一部分提出的質疑所根據的直覺判斷(表一及表二)。由於波理論在這一點上似乎違反了部分人的直覺,我們便有理由不接納這理論。但我們暫且撇開這個問題,並假設有沒有錯覺全取決於聲波的頻率和觀察者耳膜受聲波鼓動的頻率是否一致,由此去看看波理論有沒有其他問題。

你可能會想,觀察者聽到的音高不對應聲源鼓動介質的頻率,難道這樣還不算錯覺嗎?波理論的支持者可以很簡單地回應這種質疑。聽覺感知的對象除了聲音,也包括聲源。就着聽覺系統會將音高的變化呈現成聲源的變化而言,觀察者的確對聲源有錯覺。但聽覺經驗在聲源感知有錯覺,不代表在聲音感知方面就不能有真確的感知。

波理論對兩種都卜勒效應有不同的判斷,亦可能令人覺得這樣違反了直覺,畢竟兩種情況不像有如此深刻的分別,而且數學上可以用一條統合的算式去描述:

波理論的支持者可以回應說,這種直覺亦不見得不可能錯;更重要的是,那條統合的算式直接描述聲源的頻率 (fs) 與觀察者耳膜受聲波鼓動的頻率 (fo) ,但卻省略了聲波本身的頻率 (fw) ,這樣正正模糊了兩種都卜勒效應的分別。

我們看過描述第一種都卜勒效應的算式:

以及第二種都卜勒效應的算式:

那條統合算式之所以適用於第一種都卜勒效應,是因為當觀察者靜止不動 (vo = 0) ,第二種都卜勒效應的算式可得出 fo = fw 這個結果:

由於波理論認為聲音就是聲波,這結果便正正是聽覺感知的真確條件 (veridicality condition) ,因為觀察者的耳膜受聲波鼓動的頻率 (fo) 等於聲波本身的頻率 (fw) 。這顯示出在第一種都卜勒效應的情況,聽覺感知必然滿足這個真確條件,所以觀察者不會有錯覺。

至於第二種都卜勒效應,根據定義觀察者並不是靜止不動 (vo ≠ 0) ,聽覺感知必然地不能滿足真確條件 (fo ≠ fw) ,所以觀察者必然有錯覺。

當我們將那條統合算式重新分拆開,我們便可以證明只有第一種都卜勒效應符合聽覺感知的真確條件。該條統合算式雖然不失為一個方便的計算工具,但我們應該同時記得它模糊了兩種都卜勒效應的關鍵差異。

波理論的支持者雖然能夠應付以上的質疑,但對波理論的考驗不止於此。我們再看看以下這個日常生活中非常普遍的例子。

當聲源和觀察者以相同的速度和相同的方向相對於介質運動,例如你在俯衝的過山車上聽到前排的人尖叫,或者在海邊吹風時跟你的朋友面對面對話,這類情況便結合了兩種都卜勒效應。在這類情況下,觀察者有沒有錯覺呢?

雖然觀察者耳膜受鼓動的頻率和聲源振動的頻率一致,但按照波理論去分析,有沒有錯覺應該視乎觀察者耳膜受鼓動的頻率和聲波自身的頻率是否一致。聲源相對於介質的運動,令其發出的聲波不是以同心圓的方式排列,在聲源的不同角度,聲波自身客觀地有着不同的波長、不同的頻率。同時間,觀察者相對於介質的運動,並沒有改變聲波自身的頻率,卻讓她提前或延後接收到下一道聲波,改變了她的耳膜受聲波鼓動的頻率,令她聽到較高或較低的音高,而當中的差異剛好抵消了聲源移動的效果。由於觀察者聽到的音高不對應聲波自身的頻率而言,這是一種錯覺。

這個理論後果代表了我們在日常生活中充斥着大量錯覺。聲波頻率的最小可覺差 (just-noticeable difference) 大約是 0.6% 。[3] 利用這個數值,我們可以計算出聲源引發可被覺察到的聲波頻率變化所需要的速度。當聲源遠離靜止的觀察者時,它相對於介質的速度只需達到 2.07m/s (7.45km/hr) ,便可引發可被覺察的聲波頻率變化。如果觀察者以一樣的相對速度向相同方向移動(即聲源在前、觀察者在後),她聽到的音高便不對應聲波本身的頻率,形成錯覺。按照同樣道理,若觀察者在前、聲源在後,兩者相對於介質的速度達到 2.05m/s (7.37km/hr) 的話,觀察者便會有錯覺。

這兩個速度是最低限度的情況,聲源和觀察者必須剛好在同一條直線上前進。這個門檻是十分之低。一般人步行的速度大概是 1m/s ,如果考慮到香港的平均風速大概是 2m/s ,只要你在有風的日子在街上逆風而行,在你正前方和正後方向着相同方向走的人一發出任何聲音,你便會有錯覺。更甚者,當速度提升,會出現錯覺的範圍便擴展成為一前一後兩個以聲源為尖端的圓錐體,所有在這兩個圓錐體範圍內的觀察者都會有錯覺。

相信很多傾向支持波理論的人,都不會樂於接受我們日常生活中的聽覺經驗原來包含如此大量的錯覺。如果他們要繼續堅持波理論的核心主張「聲音等於聲波」的話,與其說他們告訴了我們甚麼是聲音,說他們實際上把「聲音」這個概念換了一個定義會否更準確?波理論的支持者可以如何拆解這個由都卜勒效應衍生的理論困難?這個問題,就留給各位思考一下吧。

參考著作

O’Callaghan, C. (2007). Sound: A philosophical theory. New York, NY: Oxford University Press.

Pasnau, R. (1999). What is sound? The Philosophical Quarterly, 49(196), 309-324.

Plack, C. J. (2014). The sense of hearing (2nd ed.). New York, NY: Psychology Press.

註腳

[1] 為簡化下文的解釋,本文假設了聲源和觀察者都在同一條直線上勻速移動,故兩者的速度 (velocity) 皆與其速率 (speed) 相等。

[2] 當然前提是你的速度比音速慢,否則背後的聲波永遠都追不上你。

[3] 這是頻率大概在 4000-5000 赫茲 (Hertz) 左右的數字,在這範圍之上的頻率已不能構成可以辨認的音樂旋律。在這範圍以下的頻率,最小可覺差的數字更低,甚至可低至 0.1% 至 0.2% 之間 (Plack, 2014, p. 121) 。這代表正文所計算出的速度已是比較寬鬆。

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