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畢達哥拉斯的 Do Re Mi

2015/2/10 — 12:25

【文:官大為 (Wiwi)】

 

【提醒:此篇文章是上篇文章的續集,請您一定要先看完上篇文章再看這篇喔!不然您可能會不懂我在寫什麼。】

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上篇文章連結:聽聲音!(5. 分割聲音的光譜)

在上一篇文章,我們介紹了人耳可以聽到的頻率是 20 Hz 到 20,000 Hz。以比例來說,這個頻率範圍相當寬,因為聽覺下限的 20 Hz,到上限的 20,000 Hz 相差了有 1000 倍之遠。想要將這麼寬的頻率範圍做分割,並且將其中的頻率命名,是相當困難的事。

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還好在 2500 年前,有一位名叫畢達哥拉斯 (Pythagoras) 的、很聰明的希臘男人,發現了一件事情叫做「八度」 (Octave)。所有的聲音,只要頻率變成兩倍或一半,就會聽起來很像是同一個聲音的另一版本,用現代用語說就是變成了另一個「八度」。

所以把聲音頻譜做分割的問題就變得簡單了:我們只要選定一個頻率 x,然後在 x 到 2x 當中選擇幾個頻率當作「音」,因為任何頻率只要乘 2 或除 2 就可以移到別的「八度」,所以我們可以很輕易地將找到的音,複製到整個頻譜上。

 

畢先生的 Do Re Mi

很明顯地,以上這個副標題只是為了唸得順口而已。因為在 2500 年前,根本就還沒有什麼 Do、Re、Mi 之類的名字,我們連「音」本身在哪裡都還不知道咧,更別說是「音的名字」了。

畢達哥拉斯之前用了 1:2 的頻率比例作實驗,發現了同一個音的不同「八度」,但他並沒有發現聽起來不一樣的「新的音」。畢先生尋找「新的音」的旅程的下一步,就是試試看下一個簡單的整數比,2:3。

於是他把我們原本的基礎頻率 x 乘上二分之三(*),猜猜看他找到了什麼?「新的音」耶!我們終於有一個聽起來跟 x 頻率不一樣的音了!

用現代的用語來說,如果原本的頻率 x 叫做「Do」的話,那麼 3/2x 這個頻率就相當於高五度的「Sol」,不過當然當時畢達哥拉斯並沒有考慮這麼多,他就是找到了一個「跟 x 不一樣的音」而已。

 

二分之三很好

然後你可能會猜想,下一步是不是用下一個簡單整數比,3:4,來尋找新的音?畢達哥拉斯說還輪不到 3:4 出場,我們只要拿剛剛產生的新的音,也就是頻率 3/2x,再繼續乘上二分之三就可以了。

不過 3/2x 乘上 3/2 會得到 9/4x,而 9/4x 已經超過 2x,也就是跑到下一個八度去了,所以我們要把這個頻率除 2,來移回原來的八度。於是我們就又得到一個新的音了,頻率是 9/8x。

 

重複上一步

不斷地重複以上步驟:把頻率乘上二分之三來得到新的音,所以 9/8x 乘 3/2 等於 27/16x,這就是下一個新的音的頻率。

然後,如果頻率乘上二分之三之後超過 2x,就把它除 2 來移回原來的八度,於是下一個新的音就是 81/64x。

這個步驟要重複幾次呢?答案是重複到畢達哥拉斯高興為止,還好他在找到第七個不同的音的時候,他就覺得高興了。

以上就是畢達哥拉斯的七音音階,七個音的頻率分別是 x、9/8x、81/64x、729/512x、3/2x、27/16x、243/128x。

下期待續

畢達哥拉斯的調律方法,一直被沿用到大約 1510 年左右,才被後來的中庸全音律(Meantone)調律法取代,更後來還有被誤稱(**)為平均律的 Well Temperament 調律法,然後才發展成現代通用的「等律」 (Equal Temterament)。

而為什麼畢達哥拉斯的、符合宇宙萬物運行原則、又有完美簡單整數比的調律法,後來會被取代呢?這個調律法有什麼問題?後來的為什麼比較好?我們要在下篇文章解答喔!敬請期待!

(*):因為振動物體的頻率和長度是成反比的,所以把頻率乘上二分之三的方式,就是把弦長變成原來的三分之二。

(**):說是「誤稱」的原因是,所謂的平均律,其實不是平均的。也許在下篇文章我們再繼續這個故事囉!

 

(原文連結)

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