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Do-Sol 和 Do-Mi 的戰爭

2015/2/27 — 20:36

【文:官大為 (Wiwi)】

 

(提醒:此篇文章是討論「音律」問題的第四篇文章,請您一定要先看完前面三篇文章再看這篇喔!不然您可能會不懂我在寫什麼。)

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(5. 分割聲音的光譜)
(6. 畢達哥拉斯的 Do Re Mi)
(7. 狼來了)

在上篇文章,我們提到了一個畢達哥拉斯音律系統的致命問題:「狼音」 (wolf interval)。因為狼音的問題,作曲家們不得不避開某些特定造成狼音的組合,導致他們的曲子只能寫某些調、只能用某些和弦,也不能任意轉調。

不過就算忽略狼音的問題(當時好像也只能這麼做),畢氏音律還有一個「風格上」的問題,那就是它是利用「2:3」的頻率比例,來算出新的音的。

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Do-Sol 和 Do-Mi

如果你有兩個音的頻率比例是 2:3,那麼這兩個音的關係其實就相當於現代所說的「Do 和 Sol」,技術上我們把「Do↔Sol」這樣的頻率關係叫做「完全五度」。

而因為 2:3 是一個相當簡單的整數比,所以在畢達哥拉斯音階上的 Do 和 Sol 一起彈,聽起來會相當和諧、相當穩定。

在古早古早的年代,作曲家的確是很偏好使用像是「Do↔Sol」這樣的完全五度組合的,所以一切都很完美。直到後來有一天,有人發現我們還可以用「Do↔Mi」⋯⋯

 

簡單整數比很悅耳

如果我們把 Do 當基準音 x,那麼畢達哥拉斯求出 Sol 的方式就是直接乘上 3/2,所以我們得到 Sol 的頻率是 3/2x。x 和 3/2x 是一個簡單的 2:3 整數比,所以這兩個音合在一起會很悅耳。

但畢達哥拉斯從 Do 求出 Mi 的方式是把 Do 的頻率乘上 3/2 四次,再除 2 兩次,所以 Mi 的頻率變成是 81/64x,而 64:81 並不是個簡單的整數比,所以畢達哥拉斯的 Do 和 Mi 合在一起不是那麼好聽。

而在 16 世紀以後的音樂,Do 和 Mi 合在一起的使用率變高了許多,所以我們需要一個可以讓「Do↔Mi」比較好聽的音律系統。

 

怎麼做?

首先,要讓「Do↔Mi」很好聽,你必須要讓這兩個音的頻率形成一個「簡單整數比」。畢達哥拉斯的 Mi 頻率是 81/64x,嗯⋯⋯它有沒有接近哪一個簡單的分數呢?

於是就有聰明的音樂學家想到:「如果把分子的 81 改成 80 的話⋯⋯登登!你得到 80/64x,約分就是 5/4x 了,簡單整數比!」

所以 Mi 的頻率就這樣(幾乎是沒什麼理由地)被「指定」成 5/4x 了。

 

Sol,不好意思,我們只好犧牲你了

因為 Mi 是用基準音的頻率乘上 3/2 四次再除 2 兩次求得的,而現在因為 Mi 的頻率已經被指定成 5/4x,所以我們就不再能用「乘上 3/2」的方式,來求得下一個音。

也就是說,Sol 的頻率就不再能是 3/2x 了,音樂學家們為了要讓「Do↔Mi」比較好聽,就只好犧牲「Do↔Sol」的協和程度。

那那那,原本使用了很多「Do↔Sol」組合的曲子怎麼辦阿?音樂學家說:「那是作曲家的問題阿!微軟 Windows 改版的時候,還不是一樣有很多舊版軟體不能跑?」

 

所以 Sol 的下場是⋯⋯

所以後來 Sol 的頻率到底變成多高了?

如果你反推一下,Mi 的頻率 5/4x 是「x 乘上 [某個數字] 四次,再除 4」求得的,所以「 x 乘上 [某個數字] 四次」就要等於 5,那麼 [某個數字] 就是「5 的 4 次方根」。

所以 Sol 的頻率變成了「x 乘 (5 的 4 次方根)」,也就是大約 1.4953x,比原本完美的 1.5x 低了一點點。

 

中庸全音律

我們把這種新的偏好「Do↔Mi」組合的音律系統,叫做「中庸全音律」(meantone temperament),這個系統大概從 16 世紀初開始取代畢氏音律,一直到 18 世紀初左右才被下個版本取代。

「中庸全音律」的計算方式跟畢氏音律完全相同,唯一不同的是它是利用乘上「5 的 4 次方根」來求得下一個音,而非畢氏音律的「3/2」。

然後很不幸地,中庸全音律系統依然有狼音的問題,只是狼音的位置不太一樣,這個問題還要再過一百多年才會獲得解決。

 

下回待續

音律系列快要進入尾聲囉!下次我們就要提到現代的音律系統拉,敬請期待!

 

(原文連結)

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