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三角形沒有 180 度:從幾何看引力

2015/12/11 — 16:07

Rudolf Getel / flickr

Rudolf Getel / flickr

    三角形的角總和是 180 度,似乎跟「你阿媽係女人」同樣顯見易明。但事實並非如此。例如在圖一的三角形裡,兩隻直角加起來已經有 180 度。

圖一:球體上的直角三角形,角總和是 270 度。來源:Department of Mathematics, Cornell University

圖一:球體上的直角三角形,角總和是 270 度。來源:Department of Mathematics, Cornell University

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這是什麼回事?小學數學老師們向我們隱瞞了什麼?

    原來,以前所學的都是歐幾里得幾何 (Euclidean geometry),由同名的希臘數學家於公元前 300 - 400 年創立。歐氏從五條公設 (axiom) 開始,推導出所有的幾何定理。公設大都看似不證自明,例如「直線段可以連起任何兩點』,但第五條卻是特別複雜。追求簡潔和美的數學家們,看到第五公設就覺得難受。結果在 18 世紀,就出現了等價的普萊費爾公理 (Playfair theorem) [a]

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兩條相交於一點的直線,不能同時平行於第三條直線。(筆者翻譯自英語維基百科

換句話說,平行線不能相交!這就簡潔多了。

    不過,歐氏幾何只適用於「平坦」的空間 --- 意思是,兩點之間最短的距離是某直線的長度。相比下,連接彎曲球體表面上兩點的是曲線*。一旦空間不平坦,我們就會觀察到奇怪的現象 --- 例如在圖一,從球體「赤道」引申出的兩條平行線會在「北極」相交。這兩條線一開始肯定是平行的,因為它們都與「赤道」成直角 ... 可是,它們偏偏就違反了普萊費爾公理。

(* 用直線把兩點連上不就可以嗎?想像你住在球體表面,無法跳出離開。你任何的位移都不會是直線。)

    同類看似虛無縹緲的數學玩意,其實在愛恩斯坦的廣義相對論裡大派用場。如果要用一句話總結廣義相對論,我們可以說:「所謂引力其實是時空的扭曲」[b]!根據這套理論,物體運行在時空最短的軌跡上;在平坦時空那是直線,也就是沒有引「力」的情況。但如果附近有大質量(例如太陽),軌跡就會隨著時空扭曲,造成物體(例如行星)被引「力」牽引的現象;見下圖。
 

圖二:四維時空在兩維的示意圖。可以將太陽想像為壓在桌布上的鉛球,令附近的物體都向凹位移動。圖片來源:sunorbit.net

圖二:四維時空在兩維的示意圖。可以將太陽想像為壓在桌布上的鉛球,令附近的物體都向凹位移動。圖片來源:sunorbit.net

    總言之,如果要準確描述引「力」,那就要懂得彎曲時空的幾何規矩。由於是時空本身起變化,所以就算是沒有質量的光,其軌跡亦會受影響!這就是科學界首次測試廣義相對論所用的方法。在 1919 年,英國天文學家們來到西非外海的島上,準備量度太陽對背景星光的扭曲。雖然觀測結果在後世遭到爭議 [c],但無論如何,愛恩斯坦終於在國際上取得盛名,最後流芳百世。隨後半個世紀更精密的天文觀察,亦相繼印證了廣義相對論的預測。

    如果你讀到這裡已經頭暈暈、眼朦朦了,那麼請你至少記得以下兩點:

1) 我們認為是理所當然的幾何規矩(例如「平行線不會相交」),其實是基於五個描述平坦空間、並可以放棄的公設;

2) 根據廣義相對論,所謂引力其實就是時空的扭曲。

    還是不明白?看看三分鐘的可愛講解吧!

[a] 只有在歐氏幾何裡才是等價。根據康奈爾大學數學系的介紹,在其他幾何系統裡,歐氏第五公設依然可以成立,但就無法推導出普萊費爾公理。筆者猜,那是因為普萊費爾公理違反了屬於該系統的新公設。
[b] 根據相對論,時間跟空間一樣,也有隨著觀察者而異的坐標值。記得電影《星際迷航》 (Interstellar) 裡提到,在引力強大的黑洞附近,時間比地球上過得更慢嗎?

[c] 在 1980 年,哲學家 John Earman 和 Clark Glymour 指責策劃是次觀察的愛丁頓公爵,說他的偏見令他拋棄了對廣義相對論不利的數據。兩人指,愛丁頓不但早已相信這套理論是準確的,還盼望能實證一個德國科學家的想法;作為拒絕服兵役的和平主義者,愛丁頓希望透過科學上的交流,在第一次世界大戰後重建英德兩國之間的和平關係。另外,至少自 1970 年代開始,有科學家認為當年的天文技術不夠精確,理應無法判斷廣義相對論是對或錯。

參考文章:

Kennefick, D. (2009). Testing relativity from the 1919 eclipse---a question of bias. Physics Today, 62(3), DOI:10.1063/1.3099578

 

原文刊於作者博客

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