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兩個關於質數的猜想

2016/3/29 — 22:58

Selçuk Altundaş / flickr

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最近兩位數學家有個關於質數的新發現︰兩個連續質數擁有相同個位的比例似乎較低。在他們的論文中,兩人其實未有證明這猜想,只有兩項證據︰以一個不少數學家相信成立的猜想去解釋這現象,以及用電腦做實驗統計。

論文使用了一個經過修改的 Hardy-Littlewood 猜想,技術細節我沒看懂,但由於未聽過這猜想,便找了來看,發現 Hardy 及 Littlewood 這對長久合作的數學家有兩個關於質數的猜想,都頗為有趣。

第二猜想

先說較易理解的第二個。數論中通常以 π(x) 表示「小於或等於 xx 的質數個數」,例如 10 以下有 2, 3, 5, 7 四個質數,而且 10 本身不是質數,所以 π(10)=4π(10)=4。Hardy-Littlewood 第二猜想可以表述如下︰

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對於任何 x,y ≤ 2 , x,y ≤ 2,π(x+y) ≤ π(x+y) ≤ π(x)+π(y)。

把不等式中的 π(y) 移到左邊,可以得到︰

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對於任何 x,y ≤ 2,π(y+x)−π(y) ≤ π(x)。

直觀來說可這樣理解︰先選定一把長度為 x 的直尺,放在數線上,直尺左端對準 0 點。這樣直尺便覆蓋着 0 到 x 之間的數字,因此覆蓋了 π(x) 個質數。Hardy 及 Littlewood 猜想的是,假如你不斷把直尺向右滑動(最少兩格),直尺永遠不可能覆蓋更多質數。

(上圖來自 I. Richards (1974),詳見文末連結。)

(上圖來自 I. Richards (1974),詳見文末連結。)

這個猜想看起來似乎成立,畢竟質數分佈應該越來越稀疏。根據質數定理————對於足夠大的 N,隨機抽一個 N 以下的整數,抽中一個質數的機會約為 ,而且在 N 以下兩個連續質數之間的間距平均為 。換言之 N 越大,N 以下的平均質數間距會相應增加。

第一猜想

Hardy-Littlewood 的第一猜想蘊涵孿生質數猜想——「存在無限多對形如 pp+2 的質數對」——後者至今同樣未被證明。Hardy 及 Littlewood 原來的猜想比較複雜,以下是簡略版本(細節可參考陶哲軒的博客)。

第一猜想跟質數kk-元組 (prime k-tuples) 有關。k-元組是指由 k 個數字 a1,a2,…,a組成的序列,記為 (a1,a2,…,ak)。數學家希望知道,對哪些 k-元組而言,存在無限個 n 使得 n+a1,n+a2,…,n+ak 全部均為質數。為方便起見,下稱這個特性為 (P)

目前除了 1-元組 (0) 以外(數學家證明了質數有無限個),數學家未能證明有任何 k-元組符合特性 (P)。著名的孿生猜想,就是指 (0,2) 這個 2-元組滿足 (P)。但透過張益唐在兩年多前的工作,數學家知道最少有一個 N 使得 (0,N) 具 (P) 這個特性。

不難看出,(0,1) 不可能滿足 (P)︰除了 (2,3) 以外,對於任何數字 nn+0,n+1 兩個數字中必然有一個是雙數。同理,(0,1,2) 也不可能滿足 (P),因為 nn+1 ,n+2 連續三個數字當中,必然有一個是 3 的倍數。類似的例子還包括 (0,2,4)、(0,4,8) 等。

數學家需要篩走上面這類不可能滿足 (P) 的 k-元組,因此提出以下定義︰

設 A=(a1,a2,…,ak) 為一 k-元組。假如對於任何質數 p,均存在整數 Xp 使得 Xp+a1,Xp+a2,…,Xp+ak 都不能被 p 整除。那麼 A 就是個可接受 k-元組 (admissible k-tuples)。

舉個例,(0,2,6) 是個可接受 3-元組,(0,2,6,8) 則是個可接受 4-元組。

Hardy-Littlewood 第一猜想,又稱作質數 k-元組猜想 (prime k-tuples conjecture),可表述如下︰對於每個可接受 k-元組 (a1,a2,…,ak) 而言,均存在無限多個整數 n,使得 n+a1n+a2 ,…,n+ak 全部都是質數。也就是說,所有可接受 k-元組都滿足 (P)

這個猜想不能跟最初提及的第二猜想——對於任何 x,y≤ 2,π(x+y) ≤ π(x)+π(y)——同時成立,原因關係到另一個函數 ρ⋆(x),定義如下︰

對於每個整數 x,由 0 到 x 之間可以有多個可接受 k-元組,當中最長的 k-元組,其長度 k 為 ρ*(x)。

例如 0 到 13 之間有一個可接受 5-元組 (0,2,6,8,12)(還有另一個是 (0,4,6,10,12)),因此我們知道 。讀者可以驗證 0 到 3 之間不存在可接受 6-元組,由此可知 

兩個猜想不能同時成立

然而 Douglas Hensley 及 Ian Richards 在 1974 年證明了,Hardy-Littlewood 的兩個猜想不能同時成立。他們證明的是 ,由此可得出存在 x0 使得 。兩這個結果加上第一猜想,可以推論出第二猜想不成立。

證明不難理解︰設 ,以及 (a1,a2,…,ak0) 是個可接受 k0-元組,當中 a1 < a2 <…< ak0x0。如果第一猜想成立,則存在 n0 使得 n0+a1,n0+a2,…,n0+ak0 都是質數。

與此同時,這 k0 個質數都在 n0 及 n0+x0 之間,所以 π(n0+x0)−π(n0) ≥ k>π(x0)。換言之 n0 及 x0 構成了第二猜想的反例。

目前為止,兩個猜想仍未被證明,但數學界普遍傾向相信第一猜想。

參考資料︰

  1. Terry Tao: The prime tuples conjecture, sieve theory, and the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Motohashi-Pintz, and Zhang

  2. I. Richards (1974). “On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes”.
  3. D. Hensley and I. Richards (1974). “Primes in intervals”.

     

原文刊於作者博客

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