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可知性悖論 (The Knowability Paradox) :有些真理我們永不可能知道

2015/3/28 — 19:00

via Matej Kren

via Matej Kren

「學海無涯,回頭是岸」這不單是網上流行的笑話,也是一些讀書人沮喪時的心聲。

知識無窮無盡,有些真理是我們還未知道的,這並不稀奇。不過,我們多數會承認,原則上我們可以知道這些真理,所以,只要不灰心、只要人類再努力發掘知識,我們終會掌握它們。

上面的說法多麼振奮人心,不過讓我們冷靜下來檢視它。它其實涉及以下兩個主張:

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(A). 有些真理是我們未知道的
(B). 對於所有真理,原則上我們可以知道它們

可知性悖論:有些真理我們永不可能知道?

(A)和(B)是大多數人都會承認的主張。乍看來,它們是相容的,兩者有可能同時為真。

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譬如,假如距離銀河系五百萬光年外的某個星球真的有生物。我們都會認為人類有可能知道這事實,只不過以現在的技術與人類科技,我們還未知道這事實罷了。又譬如,沒有人知道阿捷如今有多少根頭髮,但我們原則上可以知道阿捷如今有多少根頭髮,例如只要抓著阿捷的頭顱逐根頭髮計算則可。

不過,哲學家Frederic Fitch與Alonzo Church卻提供了一個有趣而精彩的論證,說明(A)和(B)並不相容,它們聯合起來會產生矛盾,因此只有一個為真,另一個為假。然而,如果(A)為假的話,就會得出荒謬的結論:「某個人知道所有真理」,因此唯有放棄(B),亦即是(B)為假:存在一些真理,我們不可能知道它們。

證明前的準備

Frederic Fitch與Alonzo Church的證明非常易懂。在展示這證明之前,我們先準備一些可靠的推論原則,以及釐清一些概念。

首先,我們把「真理」理解成「真命題」,譬如「阿捷是男人」這命題為真,那麼「阿捷是男人」即是一個真理。然後,我們把「原則上我們可以知道x」理解成「我們有可能知道x」,這裡的「有可能」是指「邏輯上的可能」,而非經驗或技術上的可能。最後,我們把「我們未知道X」理解成「我們不知道X」,因為既然我們未知道X,也就表示我們不知道X(在某個時間)。

因此,這兩個宣稱可以寫成一階邏輯的語意形式:

(A).至少存在一個命題X, X為真,而且,我們不知道X為真
(B). 對於任一命題X,我們有可能知道命題X 為真

接下來,我們需要一些可靠的原則:

(C).我們知道「P和Q」為真,可推論出,我們知道P為真,而且,我們知道Q為真
(D).我們知道P,可推論出,P為真。
(E).如果P為定理,則P必然地為真。
(F).P必然地假,可推論出,P不可能為真

(C)稱為知態算子的分配律。(D)為知識蘊涵真理的原則。(E)和(F)是一階模態邏輯的原則。它們都非常可靠,大部分哲學家都接受它們。

關於(E),如果讀者不知道什麼是定理,這並不要緊。我們只要知道如下事實則可:如果我們能夠從假設中推論出矛盾的命題,那麼這假設的否定則為定理。(詳見歸謬法

可知性悖論的證明

現在,我們可以把Frederic Fitch的證明分成三部分。第一部分假定(A)和(B)為真,然後以此進行推論出某個結論R。

第二部分,我們會使用歸謬法證明R為假。由於第一部分的假設推論出結論R,與第二部分的結論相互矛盾;因此,根據歸謬法,第一部分的假設為假,亦即是(A)和(B)不可能同時為真。

第三部分,由於(A)和(B)不可能同時為真,亦即是其中一個為真,另一個為假。但我們只可以接受(A)為真而(B)為假,因為,如果接受(A)為假而(B)為真,即會得出荒謬的結論。

第一部分

  1. (A)和(B)為真  (假設)
  2. 至少存在一個命題X, X為真,而且我們不知道X為真 (由於A)
  3. 命題p為真,而且,我們不知道p為真  (根據2,我們設定這命題為p)
  4. 我們有可能知道「命題p為真,而且我們不知道p為真」 (由於3本身亦為真命題,所以可以根據(B)推出(4) )

讓我們把(4)稱為R,即:

    (R). 我們有可能知道「P為真命題,而且,我們不知道P為真」

第二部分

現在,我們會透過歸謬法證明R的否定。證明如下:

  1. 我們知道「P為真,而且,我們不知道P為真」  (為了用歸謬法構造R的否定的假設)
  2. 我們知道P為真,而且,我們知道「我們不知道P為真」 (由於5,(C))
  3. 我們知道「我們不知道P為真」  (由於6)
  4. 我們不知道P為真 (由於7, (D))
  5. 我們知道P為真  (由於6)
  6. 我們知道P為真,而且,我們不知道P為真 (由於8,9)
  7. (5)為假 (由於1-10,歸謬法)
  8. (5)必然為假 (由於E,11)
  9. (5)不可能為真 (由於F,12)

(5)不可能為真,亦即是:我們不可能知道「P為真,而且,我們不知道P為真」。

第三部分

第二部分的結論為R的否定。它與第一部分的R相互矛盾。因此,第一部分的假定(A)和(B)不可能同時為真,亦即是,或是(A)為假,或是(B)為假。

在此,讓我們假設(A)為假,亦即是,某個人知道所有真理(真命題)。但這明顯荒謬悖理[1]。因此,(A)不可能為假,我們只好接受(B)為假,亦即是,有些真理是我們永不可能知道。

可知性悖論的重要性

可知性悖論在知識論當中佔據著非常重要的地位,當這個證明在1963年一出後,出現大量論文探討它。

有些哲學家一直相信人類的知識有界限,卻沒有非常充分的理由證明。但可知性悖論卻優美、簡潔、嚴謹地證明有些真理是我們永不可能知道。即使有些哲學家表明並不滿意這結論,但要否定它看來也要花費點功夫。(但這樣才更令哲學家興奮呢!)

邏輯符號化的證明

如果讀者看上面的證明看得一頭霧水,喜歡看邏輯符號的推論方式,可看如下的證明,也許會看得更爽。如果讀者看不明白邏輯符號,則可以忽略這篇章。

Kp為「某個人知道命題p為真(在某個時間)」;◊為「有可能」;□為「必然地」。

原則(A):∃p(p & ¬Kp)
原則(B):∀p(p → ◊Kp)

  1. ∀p(p → ◊Kp) & ∃p(p & ¬Kp)  (假設A和B為真)
  2. ∃p(p & ¬Kp)   (∵A)
  3. (p & ¬Kp)                 (∵2)
  4. (p & ¬Kp) → ◊K(p ∧ ¬Kp)              (∵B)
  5. ◊K(p & ¬Kp)             (∵3,4)
  6. K(p & ¬Kp)               (假設)
  7. (Kp & K¬Kp)               (∵6,C)
  8. Kp & ¬Kp              (∵7,D)
  9. ¬K(p & ¬Kp)              (∵6-8,歸謬法,cancel 假設6)
  10. □¬K(p & ¬Kp)            (∵9,E)
  11. ¬◊K(p & ¬Kp)            (∵10,F)
  12. ◊K(p &¬Kp) & ¬◊K(p & ¬Kp)            (∵5,11)
  13. ¬ [∀p(p → ◊Kp) & ∃p(p & ¬Kp)]      (∵1-12,歸謬法,cancel 假設1)

(13)可推論出(14).¬∀p(p → ◊Kp) v ¬∃p(p & ¬Kp)。

我們可以從¬∃p(p & ¬Kp)推論出∀p(p → Kp)。∀p(p → Kp)的意思是「某個人知道所有真理」,這顯然荒謬。因此,我們可以得出¬¬∃p(p & ¬Kp)。

然後,我們從(14)與¬¬∃p(p & ¬Kp)推論出(15).¬∀p(p → ◊Kp)。

(15)¬∀p(p → ◊Kp)可推論出 (16)∃p(p & ¬◊Kp)。(16)的意思為「至少存在一個命題X, 我們不可能知道X為真」。悖論完成!

註腳

[1] [以下是宗教哲學的黑話]我自己想到一個有趣或其實很無聊的回應是:如果我們假設全知的上帝存在呢?如果祂真的存在,那麼我們就可以接受「某個『人』知道所有真理」,因此不用否定(A)。這個想法其實有點像笛卡兒,他證明上帝存在就是為了確保我們的知識可信,根據這樣的完美的上帝,祂亦應該會確保我們原則上可以知道所有真理才對。無論如何,這樣的回應當然不會被大部分哲學家接受。為了確保我們原則上可以知道所有真理,而假設上帝存在,這樣的本體論承擔好像重了一點。

原刊於捷學的哲學

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