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平行公設與普萊費爾公理

2015/12/21 — 18:16

圖片來源︰維基百科,作者︰Lars H. Rohwedder, Sarregouset,GHDL, CC BY SA 3.0

圖片來源︰維基百科,作者︰Lars H. Rohwedder, Sarregouset,GHDL, CC BY SA 3.0

在立場新聞讀到一篇淺談非歐幾何與物理學的文章〈三角形沒有 180 度:從幾何看引力〉,註釋處提到︰

(歐幾里得第五公設跟普萊費爾公理)只有在歐氏幾何裡才是等價。根據康奈爾大學數學系的介紹,在其他幾何系統裡,歐氏第五公設依然可以成立,但就無法推導出普萊費爾公理。筆者猜,那是因為普萊費爾公理違反了屬於該系統的新公設。

歐氏幾何的第五公設(又稱平行公設)如下︰

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假如一線段跟兩條直線相交,同一邊之內角和小於兩直角(即180度),則該兩直線在無限延長的情況下,於內角和小於兩直角那一邊相交。

好像很難懂,有圖片解說比較清楚︰

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圖片來源︰維基百科,作者︰Harkonnen²,CC BY SA 3.0

圖片來源︰維基百科,作者︰Harkonnen²,CC BY SA 3.0

普萊費爾公理 (Playfair’s axiom) 則如下(本文採用跟〈三〉文不同的版本,同樣可於維基百科中找到)︰

給定一條直線及不在該直線上之一點,最多只有一條直線能平行於該直線並穿過該點。

兩條公理是在「絕對幾何」(absolute geometry,或稱作 neutral geometry) 中等價,絕對幾何的公理大致上跟歐氏幾何一樣,唯獨欠了平行公設(亦沒有其他公理),因此平行公設在絕對幾何中乃不可判定命題——無法證明亦無法否證。

在〈三〉文中引述的康奈爾大學數學系的介紹,提到︰

Many authors (including some mentioned in this text) wrongly assume, as a matter of definition, that logically self-consistent geometrical structures that do not abide by Euclid’s fifth postulate, are non-Euclidean. Yet spherical geometry – which is non-Euclidean – does abide by Euclid’s fifth postulate. The confusion stems from the fact that Euclid’s fifth postulate and its logical equivalents in planar geometry are not always equivalent in non-planar geometries.

有趣的是,這段話本身也有問題,「一致但平行公設不成立的幾何結構乃非歐幾何」並不意味「在所有非歐幾何中,平行公設皆不成立」。這是常見的「肯定後項」謬誤,「如果p則q」,並不蘊涵「如果q則p」,後一句被稱為前者的「逆命題」(coverse)。

平行公設的逆命題如下︰

如果兩條直線相交,則任何穿過兩條直線之線段,其中一邊所形成之內角和小於兩直角。

與此等價的命題,在歐幾里德的《幾何原本》中也有證明,但證明中並不依靠平行公設,而需要第二公設︰「任何線段均可無限延伸成一直線」。

在第二公設不成立的球面幾何(橢圓幾何的一個特例)中,由於所有直線均會相交,平行公設中條件句的後項為真,因此整個條件句成立。但其逆命題則不成立,因為有以下反例︰

圖片來源︰維基百科,作者︰Lars H. Rohwedder, Sarregouset,GHDL, CC BY SA 3.0

圖片來源︰維基百科,作者︰Lars H. Rohwedder, Sarregouset,GHDL, CC BY SA 3.0

同樣,由於球面幾何上沒有平行線,因此普萊費爾公理同樣成立——「一條也沒有」自然符合該公理中「最多只有一條」的要求。

為甚麼維基百科會說 “when interpreted in the spherical model of elliptical geometry one statement is true and the other isn't” 呢?該處給出的參考資料是 David W. Henderson 和 Daina Taimiņa 的 Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.),跟康奈爾大學數學系的介紹文章一樣。

由於手頭上沒有此書,我只能夠猜測原因,估計該書中使用的普萊費爾公理,並非使用「最多只有一條」的版本,而是「剛好一條」——以普萊費爾公理來區分不同類別的幾何時,需要用這個更強的版本來定義歐氏幾何,但就不會在橢圓幾何中成立。

當然,另一個可能是上文有誤,畢竟我本來就不熟悉幾何學,為寫這篇文章也花了點時間查資料。

原文刊於作者博客

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