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愛因斯坦:廣義相對論

2015/12/2 — 13:32

Buwaneka Saranga / flickr

Buwaneka Saranga / flickr

1915 年 11 月 25 號,愛因斯坦站在普魯士國立圖書館的講台上,台下坐著普魯士科學院一眾科學家。愛因斯坦在黑板上寫下一條永遠改變物理學發展的方程式:

圖一:Einstein field equation

圖一:Einstein field equation

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約翰.惠勒 (John Wheeler) 曾以一句話總結這條方程式:

「時空告訴物質如何運動;物質告訴時空如何彎曲。」

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愛因斯坦的廣義相對論推翻牛頓萬有引力定律,永遠改變物理學的發展。在廣義相對論裡,時間與空間不但互為一體,更從人類描述物理過程的背景中跳出來成為主角。人類突然發現,原來時空並不只是數學概念裡的坐標系,而是真實存在、會與物質互相影響的物理實體。

1905 年,愛因斯坦發表狹義相對論,把時間與空間結合成為一體,稱為「時空」。這個革命性的發現來自他最擅長的 Gedankenexperiment,即思想實驗。他想像自己與光同行之時,究竟會看見何種景象。此思想實驗引領他發現「同時」並不存在、時間和空間會受觀察者的速率不同而變。

縱然狹義相對論的結論已非常突破,愛因斯坦知道這理論並非完美,因為它並不適用於加速的坐標系 (例如自轉的地球) 和重力場之中。因此,愛因斯坦一直思考如何把重力和加速納入相對論裡。愛因斯坦回憶說,一個他一生中「最快樂的時刻」出現在 1907 年。他正坐在辦公室中,思考重力。他突然發現:

一個處於自由落下的人,不會感受到自己的重量。

愛因斯坦注意到,只有當我們站在地板上的時間,才會感受到自己的體重。換句話說,當有外力抵抗重力的時候,我們才能感覺到重量。所以,他結論說,如果一個人身處一間沒有窗戶的房間裡,他不可能分辨出自己究竟是:

  • 身處地球上,即正被地球的大小為 1 g (一個單位的地心加速度) 的重力吸引;或
  • 身處遠離任何重力源的太空中,房間正以大小為 1 g 的加速度加速。

圖二

圖二

以上兩個情況之中,這人都會感受到自己平常的重量。因此,愛因斯坦認為,由於重力與加速度的效應相同,兩者必定能夠被同一個物理理論解釋。這就是廣義相對論的基本原理,稱為等效原理 (principle of equivalence)。注意一點,這個比喻在數學上只於局域成立,即是只在房間是無限小的情況下成立。因此廣義相對論意味著在重力場之中並不存在能夠描述巨觀時空的特別的坐標系。

不過愛因斯坦此時並沒有專心研究廣義相對論。他反而更花時間投入量子力學的研究,因為他打從心底不相信量子論,這個他有份創立的、與廣義相對論齊名的兩大現代物理殿堂的支柱。直到 1911 年,他才回到廣義相對論這個課題之上。他發現另外一個驚人的推論:重力與加速度等效,意味著光線會在重力場之下彎曲。

光,又再一次回到愛因斯坦的思想實驗之中。

圖三

圖三

想像如圖三之中,我們在一間房間之中,這房間正以 1 g 的加速度向上 (上是指圖的上方,在太空中上下左右當然沒有分別) 加速。如果從房間的左邊向右發射一道光線,由於光速不變,但房間正在向上加速,所以當光線向右邊牆壁飛去的時候,房間相對於光線已經向上移動了少許。所以身處於房間之中的我們,看到的光線軌跡就會是圖四左那樣,是曲線。

圖四

圖四

根據等效原理,如果我們在重力場裡重做這個實驗,我們也會觀察到光線的軌跡是彎曲的 (見圖四右)。因此,愛因斯坦發現重力場能夠吸引光線。牛頓萬有引力定律說,只有質量大於零的東西才會被重力吸引。愛因斯坦是世上第一個發現連沒有質量的光線也會受重力場影響的人。

單單知道光線會彎曲並不足夠,重要的是愛因斯坦必須計算出光線究竟會彎曲多少。他發現,做這計算需要的數學非常深奧,涉及抽象的張量分析 (tensor analysis)。他請他的數學家朋友格羅斯曼 (就是那位朋友 Marcel Grossmann,他的爸爸當年幫助愛因斯坦找到瑞士專利局的工作) 幫助他解決一些數學問題。格羅斯曼指出,相對於歐幾里得幾何 (Euclidean geometry,可解理成坐標系的線都是「直」線),廣義相對論描述的是一種叫黎曼幾何 (Riemannian geometry) 的非歐幾里得幾何。在非歐幾里得幾何之中,平行線公設並非必須的,因此平行線有可能相交。這其實並非什麼令人驚訝的事,例如描述地球表面的經緯線也是一種非歐幾里得幾何:在赤道平行的經線會在南北極相交。

愛因斯坦需要用非歐幾里得幾何找出正確描述物質、能量與時空互動的方程式 (即圖一)。由 1911 年到 1915 年 11 月,他都在漆黑的抽象數學世界裡獨自尋找廣義相對論發出的光。這段時間,他不單止思考物理,而且要處理他和妻子 Mileva Marić 的關係:他們要離婚。Mileva 不想讓愛因斯坦的兒子見他,因為他與表妹 Elsa Löwenthal 有婚外情。愛因斯坦需要透過朋友向她保證兒子們不會見到 Elsa,因為他每天都只是獨自在家研究廣義相對論:

「我荒涼的家有著近乎聖堂的味道。」

直到 1915 年 6 月,愛因斯坦感覺他接近正確的廣義相對論了。他在當時的數學聖地哥庭根大學 (Georg-August-Universität Göttingen) 講了一系列的演講,向世界上最出色的數學家們解釋他(尚未完成的)廣義相對論的細節。可是,他可能太過熱忱,解釋得太多了。在聽眾之中,坐著大衛.希爾伯特 (David Hilbert)

希爾伯特是上世紀最出色的數學家之一。他聽完愛因斯坦的演講後,就想:我能不能夠完成也許連愛因斯坦也完成不了的工作呢?

愛因斯坦也知道希爾伯特是世上最出色的數學家。他回來後就對朋友說,他很高興能夠說服希爾伯特相信廣義相對論。只是他並不知道,希爾伯特不單止相信,他更想推導出正確、完整的廣義相對論。

直到 1915 年 10 月,愛因斯坦終於知道希爾伯特也在尋找正確的廣義相對論方程式。他非常擔心希爾伯特會搶先一步完成廣義相對論。他發現自己一直以為接近真相的方程式有問題,因為他計算出來的水星近日點進動 (Mercury perihelion precession) 的數值,比觀測數值少了一半。這說明,他的公式是錯誤的。另一邊廂,Mileva 不斷的來信要錢、收不到兒子們的回信也令愛因斯坦情緒非常低落。他指責 Mileva 收起了他寫給兒子的信。

同時,愛因斯坦也答應了普魯士科學院在 11 月的 4 個星期四分別講 4 堂演講,解釋他的廣義相對論。11 月 4 號,他在講台上講解了廣義相對論的摡要,並承認自己未找到正確的公式。11 月 11 號,他解釋自己找到了的新的坐標條件,解決了一些數學問題,例如令他的公式變成協變的 (covariant,意即他之前的公式在更換坐標系時,某些重力或加速度並非相對)。可是,這仍舊未解決他的問題:他要首先找到一套完整、正確的方程式組。

他把他的新論文寄給希爾伯特,同時問希爾伯特的進度如何。希爾伯特的回信想必令愛因斯坦非常擔憂,因為希爾伯特在信中說:

「我得到了一個答案 …… 在我理解的範圍內,我得到的答案與你的非常不同。」

他更邀請愛因斯坦下星期到他家作客,他們就可以一起討論。愛因斯坦以身體不適為由婉拒了。他在星期一寄了幾封信,其中一封寄給他的大子漢斯,問他要不要一起到郊外度假;另一封寄給希爾伯特,請他把論文寄來看看。

在第三講之前的某天,愛因斯坦找到了一組協變的方程式。他把水星軌道的觀測數據放進這組公式裡,結果得到了水星近日點進動大小等於每世紀 43 角秒。這正正是觀測到的大小,與他的計算完全吻合!愛因斯坦極度高興,因為他終於找到了正確的公式,完成廣義相對論了!

在 11 月 18 號,即第三講的早上,愛因斯坦收到了希爾伯特寄來的論文。他非常驚慌,因為希爾伯特找到的公式與他幾天前找到的幾乎完全一樣。他立即回信,並說:「在我理解的範圍內,你的結果與我先前找到的一致。今天我將會向普魯士科學院報告我的廣義相對論論文的計算結果,我的公式解釋了水星近日點的進動。」愛因斯坦這樣說是要向希爾伯特表示,是他自己首先發現廣義相對論的。

希爾伯特回信愛因斯坦,祝賀他首先發現廣義相對論:

「衷心祝賀您征服了近日點運動。如果我能夠計算得像你一樣快,我方程式裡的電子就要投降、氫氣就要寫道歉書解釋為何它來不及輻射。」

不過,希爾伯特同時亦發表了一篇論文,上面有他的廣義相對論方程式;他把這論文命名為《物理學基礎》(The Foundations of Physics)。愛因斯坦也把他的 11 月 25 號的演講命名為《重力場方程式組》(The Field Equations of Gravitation)。

愛因斯坦在 1915 年 12 月 2 號,發表了寫著他的廣義相對論的論文。在這一天,愛因斯坦首次向世界展示了大自然最深刻的奧祕:時空與物質如何互相影響。這場演講,徹底終結了牛頓物理學,亦奠定了愛因斯坦永遠的天才形象。幾個星期之後,希爾伯特與愛因斯坦才重修舊好。希爾伯特也親自解釋,發現正確的廣義相對論公式的功勞,全靠愛因斯坦。

廣義相對論說時間和空間不單止是一體的時空,而且質量和能量可以扭曲時空,被扭曲了的時空就是我們經歷的所謂重力。重力,或者萬有引力,在廣義相對論之中不被描述為一種力,而是時空扭曲的結果。

1919 年 5 月 29 號,天文學家亞瑟.愛丁頓 (Arthur Eddington) 在西非日全食時觀察太陽附近的星光,計算出星光的偏折角度與廣義相對論的預測吻合,漂亮地以天文觀測再一次證明了廣義相對論。當愛丁頓的電報傳回歐洲,愛因斯坦的學生就告訴愛因斯坦,愛丁頓證實了你的理論了。愛因斯坦就說,我早就知道我的理論是正確的。學生就問他,如果愛丁頓的觀測發現你的理論是錯的呢?愛因斯坦的回答,顯示了他對自己理論的信心和自傲:

「若然如此,我會為上帝感到可惜。我的理論是正確的。」

這就是愛因斯坦發現廣義相對論的故事。經過了 100 年,愛因斯坦的廣義相對論依照在影響最前沿的基礎科學研究。愛因斯坦對物理學的貢獻,亦未止於相對論。下一篇文章,我們不妨來看看,天才愛因斯坦有什麼其他的想法:有哪些是正確的、哪些是錯誤的?我們將會發現,連他一些錯誤的想法,竟也對物理學造成深刻的影響!

愛因斯坦 / Wikimedia

愛因斯坦 / Wikimedia

 

 

《廣義相對論 100 周年》系列:

第一章/《誰是愛因斯坦

第二章/《與光同行 — 愛因斯坦

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