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淺談相對論:等效原理,重力其實不存在?

2017/3/31 — 19:53

背景圖片來源:《inception》劇照

背景圖片來源:《inception》劇照

此前概括地講解完狹義相對論 (special relativity) ,解釋了同時/時間是相對這些概念(包括光年),還有入面一些和日常生活體驗有出入的「悖論」。不過狹義相對論其實只是算相對論的入門初階,還沒考慮最關鍵、精髓的一樣東西——重力 (gravity) 在入面。狹義相對論除了概念上比較難接受外,裡面涉及的數學其實高中生都會。

你可能會問︰「沒有重力?那牛頓萬有引力加狹義相對論不行嗎?」答案是不能,因為兩個理論根本上不相容。狹義相對論的精髓不止是說光速是絕對,不是無限,準確講是指沒有任何粒子/訊息傳遞可以快過光速。換句話即是說這個世界沒有瞬間感應/作用這東西*。

但牛頓萬有引力正正就違反了這個概念,因為裡面說一件物件對其他物件的重力影響是根據物件間的距離而定。即是當一件物件移動了,物件間的距離改變時,它們會瞬間即時感應到重力不同了。所以牛頓萬有引力 + 狹義相對論是不可行。

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那要考慮重力要怎麼做?答案當然就是用廣義相對論 (general relativity) 啦,所以今次輪到講廣義相對論?嗯…但要真的明白廣義相對論,首先要知道甚麼是等效原理 (equivalence principle) 和度量張量 (metric tensor)

等效原理,重力其實不存在?

等效原理是甚麼?簡單講是指一個物件的慣性質量 (inertial mass) 和重力質量 (gravitational mass) 是一模一樣,其實根本是同一東西。如果你想深入些,這兩種質量其實在指完全不同的東西:一個在講一件物件有多不喜歡改變自己的慣性,另一個在講重力對一件物件的影響(好像電荷在電磁學入面的角色)。

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你可能會問︰「咁又點呢?」定義上這兩樣東西是完全不同,沒原因為何它們是一樣。它們是完全一樣這個事實說明其實「正確」講重力不是好像電磁力或者弱核力/強核力般是物件間的直接相互作用,重力其實不存在,只是假想力 (fictitious force) 。好像你在一部勻速前進中的車裡面,你會看到外面所有東西在倒後走。那究竟是你在向前行抑或是外面所有東西在倒後走呢?物理學上愛因斯坦就說你沒可能分辨到,兩者是沒分別。假想力正是指類似的概念,不過現在講的是加速度。

試想像你在一個旋轉中的系統內,你是不是會感覺到有離心力拉你出去?這個其實是因為你本身「唔想跟大隊轉」的慣性。跳出這個系統,從靜止的第三者角度看,離心力實際上是不存在,根本沒這個力在拉你。離心力只是假想力,「當局者迷」,身處其中,這個情況下物理學上你是沒辦法分辨究竟是真的有一個力在拉你抑或你只不過正身處一個加速中的系統中。

同樣地,你「感覺」到重力其實只不過是因為你正身處一個加速中系統裡面。愛因斯坦為了表達這個概念,佢提出一個思想實驗︰想像你身處一個遠離任何重力影響,用 9.8ms-2 加速中的太空船中。這個情況其實和你身處於地球表面無分別,在這兩個系統中任何實驗結果都會完全一樣。又或者身處一部自由落體中的𨋢裡面,你會感覺到失重,好像在太空不受重力影響般的道理一樣。詳細可以看余海峯的講解:

重力只是假想力這個事實其實說明一個受重力影響的物件只不過正在慣性運動中。但牛頓力學不是說慣性運動保持其靜止或者勻速直線運動嗎?在重力影響之下物件不是在加速中嗎?那其實是因為你「用錯」座標,用了一個加速中的座標去看物件。物件其實還在直線運動中,不過是在一個扭曲了的空間(四維時空)走直線。時空怎樣扭曲便是根據質量(其實即所有能量)而定,所以你經常聽到人用保齡球和彈床去比喻重力。

你覺得不是直線運動只不過是因為你錯誤假設了時空沒有扭曲。就好像在地球表面走直線,條路徑你放在地圖,一個沒有扭曲的平面上面看會變了曲線那樣。

相對論世界的「尺/度量衡」

在狹義相對論裡,要計在不同觀察者眼中時間與物品的長短怎樣不同,可以用羅倫茲變換 (Lorentz Transformation) ,看不同觀察者眼中的座標怎樣變換。詳細可以參考余海峯的文章

雖然公式不算長和深,但這些運算其實有個更簡單、快捷的方法計算,就是用一種叫度量張量的東西。度量張量簡單其實即是尺/度量衡,用於計算空間裡點興點之間距離、線與線構成的角度的「工具」。

狹義相對論中,用羅倫茲變換座標的時空叫閔可夫斯基時空 (Minkowski spacetime) 。如果在這個四維時空裡兩點 A 與 B 的距離叫 ds ,那 ds 與四維座標 (t,x,y,z) 的關係就是下面條公式

上面符號 d 其實指微分 differential 。不知道是甚麼也不大緊要,某些情況好像狹義相對論中, dx 你可以簡單看做兩點 x 座標的差距, dx=|x1-x2| 。希臘符號是代表座標的 index ,由 0 到 3 ,分別代表四維座標 (t,x,y,z) 。上下重複了的 indices 隱藏了 summation 的意思。度量張量就是 g_μν ,在閔可夫斯基時空通常會寫做 η_μν ,是一個張量 (tensor) ,可以用下面的矩陣 (matrix) 代表:

時間與三維空間在相對論的分別只不過是正負號的分別。撇除正負號,上面的公式其實即是畢氏定理。公式左面指四維時空的距離,又叫原時 (proper time) ,在不同座標都是一樣的。在一個運動中物件的座標上,你量度出的時間就是原時。

狹義相對論其實是說在真空中,時空是一個閔可夫斯基時空。而廣義相對論就是將度量張量變做一個電場般的場 (field) ,不同地點有不同數值,而且會隨時間轉變。好像政府「龍門」時時刻刻都在變。今次講到這裡,下次再講。

*量子力學入面有東西叫量子糾纏 (quantum entanglement) ,就咁看好像與相對論講無任何物件包括訊息的傳遞可以快過光速有抵觸,但其實是沒有。

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