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由機率看動物傳心

2017/7/24 — 10:54

前排有傳媒用假龜測試動物傳心真偽。發現 5 位動動傳心人都未能「感知」假龜是膠龜,傳媒便結論傳心為假。但動物傳心聲稱是基於量子力學。由於量子力學是不能作出確定性 (deterministic) 的預測,只能給出機率,那麼傳心人能正確傳心也應該是由機率決定。所以 5 次測試都未能給出正確答案,就否定動物傳心。以機率的角度好像太武斷。在此不論膠龜有沒有思想,也不探究傳心和量子力學的關係——純粹由機率角度看問題。

假設現在有一錢幣,擲一次得公不是字,可以說字的機會率是零嗎?就算擲 5 次 5 次都是公可以說字的機率是零嗎?就算一個公平的錢幣都有機會擲到 5 次公啊。若然擲 100 次都是公,那麼好像公的機率是很大的。怎麼用數學理解這個「直覺」呢?

一般學校教的機率,是假定事件先驗的 (priori) 機率,然後去計相關的機率。例如假定雨天的機率是 30 %,求未來 3 天會下雨的機率。但現實是先驗的機率是很抽象的,所有機率都應該是實驗得來。想知錢幣是否公正,理論上我們要擲很多很多次,然後看看公和字出現的頻率是否相同,我們才能得出一個近似的先驗機率。現實上如果擲一個錢幣很多次,那錢幣可能都磨損了,機率也變了。而如果是說下雨的機率,難道天文台能把明天「重覆」幾次,然後得出先驗的下雨機率嗎?天文台可以模擬明天幾遍,而得出一個模擬機率, 但這機率跟真實的「先驗」機率性質還是不同。所以先驗機率其實同假設沒兩樣。

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基於先驗機率的不可操作性,數學家想出機率就只能跟據手上的資訊來決定。當有新的資料,這個機率就會更新。情況就像明天下雨的機率是 30%,當明天過去而沒有下雨,那麼當天下雨機率就是零而不是 30%。 這個不斷更新的機率,比較容易定義,也容易操作,而且反映出觀察者對事件的「信心」。

那麼現在說明如何操作了。假設擲錢幣 n 次,出 r 個公。跟據二項分佈 (Binomial distribution) ,其機率是:

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這裏用了條件機率 (Condition probability)  ,意即是如果機率是 x ,那麼擲 n 次出 r 個公的機率是這麼多。這 個機率也可以想像成似然函數 (Likelihood) ,即是如果擲 n 次出 r 個公,那麼機率是 x 的機會是多少。似然函數跟機率的關係是這樣 :

這時候根據 x 的不同會得出似然函數。圖一畫出一些例子:

圖一/似然函數的一些例子

圖一/似然函數的一些例子

可見如果擲 10 次只有一個公(藍線),那麼似然函數隨 x 會有變化。而當似然函數最大時相應的機率是 0.1 , 即公的機率最有可能是 0.1。而如果擲 10 次有 5 個公(橙線) ,公的機率最有可能就是 0.5。 當擲 500 次有 250 次公(紅線),公的最可能機率也是 0.5。但是分布變窄了,即是說公是 0.5 的「誤差」會越擲得多會越小 了!

要注意,似然函數是觀察者因資訊而得出。似然函數最大值時相應的機率,跟先驗機率(或真正的機率)還可 能有差別。例如就算真正的機率為 0.2,擲十次只有一個公的機率為 27 %,也是相當有可能的。所以在上圖 中藍線在 x = 0.2 那裏還有一定機率。但基於實驗結果最有可能的機率是 0.1。

好。那麼 5 位傳心人都沒有正確。那麼傳心最有可能的機率是 0。但是這不能完全否定傳心。看看下圖當  = 5 , r = 0 的情況。 

圖二/當 n =5, r = 0 的似然函數

圖二/當 n =5, r = 0 的似然函數

因為在 x 不等於 0 還有不少的機率。習慣上用半峰全寬 (Full width at half maximum) 來定義其誤差。誤差為 1 − 0. 51/n。 所以傳心機率的上限還有 13%。 而如果真是有傳心,那麼實驗結果說明膠龜也可有思想的!其機率至少為 87%!膠龜加油! 

註:

其實這篇抽水文只是一個普通機率應用。但這個應用一般學校是沒有教。雖然似然函數十分易用,但很多時提貝氏機率只會提貝氏定理,所以我想借這個機會把這個似然函數介紹一下。 對於上限是 13% 當然只是純機率的看法,真正的科學研究還有很多要考慮。純機率去看事物,像是一個「縱合」的角度,不理內裏的詳細的因果,把很多事簡化為一個機率。這樣做當然是有不足的地方,但卻令我們以一個比較寛鬆的態度看事物。 最後,只用 5 個樣本來做決定當然不理想。資源時間許多之下應該多做一點。但現實有時就是由有限的資源去做出最「理性」的決定。

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