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看似「違反直覺」的數學定義正是為了「保留直覺」

2018/4/17 — 10:00

《有你終生美麗》劇照

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不少人會覺得數學上有些定義非常離奇,認為這些定義徹底違反直覺。事實上,它們的出現正是為了保留我們心中最基礎的直覺。本文將討論 3 個簡單例子。

無窮級數 (Infinite Series)  1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ + … 不是無限?

直覺讓不少人認為無窮無盡地把無限個正數加起來將會得出無限。的確,若果我們堅持使用有限個數字的加法,我們很可能會得出 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ + … 是無限。

我們為何需要運用極限 (Limit) 去定義無窮級數的數值?為何不放任 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ + … 等於無限?

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先假設 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ + … 是無限。我們知道:

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如果我們堅持「若 a = b 和 a = c ,則 b = c 」這條直覺規則,我們將會得出 2 等於無限。

相信不少人堅信 2 是一個有限數字,同時認為「若 a = b 和 a = c ,則 b = c」成立。因此,不去放任 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ + … 等於無限正是為了保留好「2 是有限數」以及「若 a = b 和 a = c ,則 b = c 」這兩條更核心的直覺規則。

正整數與正雙數的數目一樣多?

許多人直覺認為正雙數的數目必定比正整數少,因為正整數包含了所有正雙數,正雙數是正整數的子集 (Subset) 。然而,數學上不以子集的角度討論多與少,竟用雙射 (Bijection) 定義每個集 (Set) 的大小。

我們為何要放棄使用直覺上的子集角度去決定集的大小?為何選擇運用雙射的定義?

其實,用子集而論集的大細將會遇上不少麻煩問題。

首先,子集關係不是一個全序關係 (Total Order) ,它只屬偏序關係 (Partial Order) 。換言之,一個集不一定是另一個集的子集,我們將會無法比較沒有母子關係的集。例如:質數不是正雙數的子集,正雙數亦不是質數的子集,所以無法比較質數與正雙數的數量;正單數不是正雙數的子集,正雙數也不是正單數的子集,因此我們不能確定正單數和正雙數誰多誰少。

其次,使用子集關係決定數量將會導致詭異的「鬼魂數字」出現。假設我們因為正雙數是正整數的子集而認為正整數比正雙數多。我們知道將正雙數除以 2 能得出正整數,於是將所有的正雙數都除以 2 得出所有正整數。可是,如果正整數比正雙數多,豈不是有「鬼魂正整數」無法由雙數除2而得出嗎?難道這些「鬼魂正整數」乘以 2 之後不是正雙數?

以上可見,以子集關係定義集的大小是行不通,會導致「鬼魂數字」出現而違反直覺。說明雙射定義之前,我想問一問大家直覺上覺得正雙數的數目比正單數更多、更少抑或一樣?

不少人直覺認為兩者數目一樣。他們會嘗試將一個雙數和一個單數配對,亦即雙射: 1 與 2 、 3 與 4 、 5 與 6 、 7 與 8 ,如此類推。所以,他們認同正雙數和正單數的數目相同。可是,配對的方法或許人人不同。假設有人的配對方法是: 1 與 42 、 3 與 82 、 5 與 122 ,如此類推。這個方法會令很多雙數剩餘,他會覺得正單數比正雙數多。

正因為我們直覺覺得兩個集的大小不能一時一樣,不容許一時單數比雙數多、一時單數跟雙數一樣多,數學家定義「當兩個集之間有任意的雙射,兩集數目則是相同」。簡言之,只要有一個配對方法能夠成功將兩邊數字串連,兩個集的數量就是一樣。

簡單講,為了保留「任何兩個集的數量能夠互相比較」、「不能憑空出現『鬼魂數字』」、「集的大小不可隨時變動」等重要的直覺規則,我們才棄用子集關係,使用任意雙射的定義。

「如果筆者是男人, 100 就是單數」居然正確無誤?

很多人見到有如「若果貓是昆蟲,太陽就從西邊升起」、「若果香港有皇帝,他一定是禿頭」等句子都會覺得荒謬至極,然而數學邏輯的定義會告訴你:它們都是正確的。

我們見過不少「若是 P ,則是 Q 」( P 、 Q 指任意陳述句)。直覺上,不少人會覺得當 P 是錯誤時,整句句子將會同樣錯誤。可是,數學邏輯對「若是 P ,則是 Q 」的正確錯誤定義恰恰相反:當 P 是錯誤時,無論後面的 Q 是正確還是錯誤,整句句子都是正確。

這個定義使不少人摸不著頭腦。其實,它正正符合我們的直覺。

當我們說「若是 P ,則是 Q 」,直覺上的意思就是「是 P 就必定會是 Q 」,不能出現只是 P 卻同時不是 Q 的情況。換句話說,我們直覺認為「 是 P 不是 Q  (P and Not Q) 」乃「若是 P ,則是 Q 」的相反。另一邊廂,「 是 P 不是 Q (P and Not Q) 」的相反正好是「不是 P 或者是 Q (Not P or Q) 」。於是,我們將「若是 P ,則是 Q 」定義成「不是 P 或者 Q (Not P or Q) 」。如此一來,當 P 是錯誤時,不是 P 則為正確。所以,整句「不是P 或者是 Q (Not P or Q) 」即「若是 P ,則是 Q 」也同樣是正確。

因此,「若是 P ,則是 Q 」的定義沒有想像中違反常理,反而更符合我們的直覺。

很多時候,數學上的定義不是為定而定。它們是由數學家精心思考,為保留人類最基本的直覺而誕生。

原刊於作者 Medium 網頁

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