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Pi 是永恆 (一)

2015/12/17 — 12:56

亞視永恆。但有些東西可以比亞視更永恆。

我們都學過圓周率,而且我們都知道圓周率的名字叫做 π。在學校裡,我們必定學過一條公式,就是如何用一個圓形的半徑去計算它的周長,即是圓周:

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上式告訴我們「圓周   除以兩倍半徑 (即直徑)   等於  π 」,大概就是我們對  π  的第一個印象吧!我們在學校也學過,上式中的 π 是一個常數。換句話說,無論一個圓形有多大,它的圓周   和直徑   之間的比例都是不變的。

有史記載第一個證明 π 是常數的人,有說是阿基米德。他使用極限 (limit) 的數學概念,以逼近法把 π 好像夾三文治一樣夾出來!從而證明它是一個常數,計算出 π 在 3.1408 和 3.1429 之間,準確至兩個小數位。事實上,π 是無窮無盡的,即是它擁有無限個小數位,怎樣計也永遠計不完。現代的超級電腦,可以把 π 計算至萬億個小數位。可是,萬億個小數位距離無限,仍然是無限遠。

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我們知道這些都是事實。可是,我們又有沒有想過,為。什。麼?

在這一連幾篇文章中,我會用兩個不同的方法去證明 π 是一個常數,即是證明所有圓形的圓周率都是一樣的。換句話說,我們會證明所有圓形的圓周與直徑的比例都是一樣的。然後我會介紹其他與圓形和 π 有關的問題和故事。好了,我們開始吧!

首先第一個證明,涉及微積分的概念。注意在此證明之中我並不會用到實際微積分的運算技巧;使用微積分的符號只為證明的完整和方便而已。未學過微積分的讀者不用太過在意,只需要知道記住「積分」只是計算無限短的長度的加法,而「微分」可想成是積分的反向操作而已。 (也可參考上回,微分是計算無限短線段的斜率的方法)

首先,我們有一個半徑為  的圓,圓心   點放在  。現在於圓形上任意選擇一段長度為  的段落。  兩端對應的座標叫做   和  。如下圖:

我們問,  有多長?假設我們選擇的   非常非常短。當趨向於無限短,那麼   就差不多是一條直線。根據上圖,使用我們討論過的畢氏定理,我們就有  。明顯地,如果把很多段   圍繞圓心加起來,就會等於圓周的長度。把很多段無限短的長度加起來的方法,就叫做積分,符號上是這樣寫的:

把   寫成   是為了表示無限短的意思,只是微積分的慣用符號而已。上式可寫成 

這公式告訴我們如何計算任意一段線段的長度。這公式不單止適用於圓形,也適用於所有能夠定義斜率   (即是高度除長度) 的線段。所以現在我們只需要知道圓形的   就可以計算圓周長度了。懂得微積分運算的讀者可以自行快速計算,但我說過此文中我會不用微積分運算。那麼要如何做呢?原來非常簡單,只需要知道初等幾何學裡的一個定理:兩條互相垂直的直線的斜率相乘等於  。

見上圖,沿半徑方向的斜率明顯等於    (其實就是斜率的定義而已),而我們希望找到的沿圓周方向的直線 (即是圓周上的切線) 與半徑互相垂直,所以

因此圓周的斜率就是

把上式放回積分裡,就有

把開方裡面通分母再化簡,就得到

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們已經知道 。所以

現在我們有一個問題,就是要把很多段   加起來,但是其長度卻用   去表達。就正如計算面積時,我們不可以用米做高度、厘米做長度,單位必須一致。怎麼辦呢?不用擔心,只需要知道每個   等於多少個    就可以了!就如只需要知道一米有多少厘米一樣。

在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》裡,我們也知道  。所以我們要知道的就是:當 θ 改變少許的時候   改變多少?心水清的讀者已經知道,這正正就是上回講到的斜率了,只不過由計算   變成計算  ,概念一樣。而且從上回的討論中我們已經知道 cosine 的斜率就是負 sine,因此

原來每個   等於  個  。所以我們就知道

不論  等於多少,也與   無關。因此圓周上任意長度   與直徑的比例就是

只與角度 θ 有關。因此無論圓形有多小多大 (由  一個變量決定),此比例亦恆等不變。所以我們就證明了無論一個圓形有多大,它的圓周  和直徑   之間的比例都是不變的!

最後,我們來證明這個數字等於  π 。其實這也不可以說是一個「證明」,只是一個定義 π 的方法罷了。不過有了這個定義,下回我們就可以計算  π  的數值。數學上,我們習慣把角度的 180 度叫做一個  π 。繞圓周轉一圈是 360 度,所以半個圓周周長就是把上式由 0 度積分至 180 度,即是由 0 積分至一個  π :

上式中的負號是因為我們在上面作開方根的時候,沒有考慮正負兩個選擇。長度當然不能是負數,因此這告訴我們在上面的開方步驟中應該選擇負的結果。所以上式就說「半個圓周   與直徑   的比例是  」。換句話說,

π 是永恆。下回,我們來看看它如何能夠 loop 到下個世紀,仲未埋尾。

延伸閱讀:

三角 X 斜率 X 微積分》- 余海峯

畢氏定理 X 圓 X 三角學》- 余海峯

加菲證明畢氏定理》- 余海峯

 

原文刊於作者博客

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