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生成器與回文積等式

2015/6/16 — 11:25

近期,「生成器」一詞成了熱點。這讓筆者想起多年前研究某類趣味數論問題,也曾炮製了一些「生成器」來解決問題。這些東西,早年就已經放過上網。但還是想趁這熱潮,再寫一次。當然這會是用不同的方式來表述。此外,本文不打算深入介紹有關的數學理論和證明,網友感興趣的可自行探究或在網上搜尋這方面的資料。

先來看看這個等式吧:

156 × 1236 × 445851 = 273 × 2163 × 145584

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它的特別之處是,當從等式的右端逆序寫過去,等號仍然是成立的。即有

485541 × 3612 × 372 = 158544 × 6321 × 651

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所謂回文積等式,就是指這類等式。

看上去,上列等式實在複雜,有可能用甚麼「生成器」炮製出來嗎?

先來簡單一點的。比如:168 × 861 = 294 × 492。這個回文積等式中其實能炮製出168和294這兩個數就已算成功。這裡我們需要兩個數作原材料,就可以生成出上面這個較簡單的回文積等式。這兩個原材料數是 12 和 14 。

請看

14 × 12 = 140+28 = 168(其實還有 861 = 21 x 41),

14×21 = 280+14 = 294(其實還有 492 = 12 x 41),

恰恰就把 168 和 294 這兩個數炮製了出來。須注意的是,原材料數在相乘過程中,在紅色部份的相加過程中是不可以出現進位的,這是必須的條件。

用同一原理,可生成位數較多的回文積等式。比如:原材料數是 12 和 113 ,由

113 × 12 = 1130+226 = 1356

113 × 21 = 2260+113 = 2373

這表示我們有 1356 × 6531 = 2373 × 3732

說來,原材料不一定限於兩個,而且理論上,是多多都沒有問題的。且介紹一個原材料是三個的例子。

原材料數是 12 、 102 、 1002 ,把它們作四種方式的相乘:

12 × 102 × 1002 = 1226448,

21 × 102 × 1002 = 2146284,

12 × 201 × 1002 = 2416824,

21 × 201 × 1002 = 4229442。

這表示我們得到了一串連環的回文積等式:

1226448 × 8446221 = 2146284 × 4826412 = 2416824 × 4286142 = 2449224 × 4229442

也許,有人會覺得:數字也太大了吧!有沒有數字小一些的同類例子?其實,很多奇美的數字關係只在大數世界之中才可見到,這一點,我們應該嘗試適應。

現在來回看一下本文開始處所展示的那個頗複雜的回文積等式,它是怎樣生成出來的呢?可以說,生成的基本原理,跟上面所介紹的一脈相承,當然,其中需要有些竅門把原理變化一下。具體作法,恕賣賣關子,留待有機會再向大家介紹。

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