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不簡單的充分必要條件

2019/4/25 — 15:00

圖片來源:Tyler Milligan, Unsplash

圖片來源:Tyler Milligan, Unsplash

「充分條件 (sufficient condition) 」和「必要條件 (necessary condition) 」是哲學家常用的術語,也是基礎邏輯書經常提及的概念。這對概念有些典型的例子,比如,所有單身漢都必定是單身的,並且只有單身的人才能是單身漢,故可謂:

  1. 「單身漢」是「單身」的充分條件
  2. 「單身」是「單身漢」的必要條件

事實上這對概念並不簡單。我之前在〈充分必要條件〉指出,即使在同一本邏輯書,也可能同時用了兩個迴然不同的定義。但充分必要條件尚有更多複雜之處,這篇筆記旨在簡略談多兩個充分必要條件的問題。

問題一

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第一個問題是,很多邏輯書的定義使我們沒有辦法一致地說「非充分、非必要」。根據 Varol Akman (2017) ,許多邏輯書都是用命題邏輯的質料條件句 (material conditional) 來定義「充分條件」和「必要條件」:

P 是 Q 的充分條件     =Df     P → Q

P 是 Q 的必要條件     =Df     Q → P

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假設 P 是「小明用功讀書」、 Q 是「小明交到女朋友」。很明顯(雖然很可憐) P 既不是 Q 的充分條件,也不是 Q 的必要條件。根據定義,充分必要條件不成立,即是相應的質料條件句是錯的,也就是:

¬ ( P → Q ) ∧ ¬ ( Q → P )

但質料條件句只在一種情況假:前項真而且後項假的情況。因此,非必要、非充分的情況即是:

( P ∧ ¬ Q ) ∧ ( Q ∧ ¬ P )

最後等於要 P 、 Not-Q 、 Q 、 Not-P 一起成立,但這顯然不可能。換句說話,根據許多邏輯書的定義,說某條件「既非充分亦非必要」已經蘊涵矛盾。然而,實際上明明就有許多非充分、非必要的情況。這表示那些邏輯書的定義未能符合「充分條件」和「必要條件」的用法。

用命題邏輯的質料條件句來定義充分必要條件尚有許多問題,例如「單身」和「單身漢」根本就不是命題。 Akman (2017: 379) 建議不用命題邏輯,改用述詞邏輯,但只要仍用質料條件句來定義,類似的例子應該仍會出現(只需將論域設定成只有一個物件),因為第一個問題本質上就是質料條件句的問題

問題二

即使不用質料條件句,充分必要條件的定義往往仍涉及條件句 (conditional) 。第二個問題遠比第一個複雜,因為這個問題指出條件句(不只是質料條件句)本身就極麻煩。撇除當代的討論不談(例如不理會反事實條件句 (counterfactual conditional) ),許多年前 Ian Wilson (1979) 已經留意到英文的條件句至少有兩個功用:用來做解釋和用來做推論 (inference) 。箇中原理大可不談,最重要的是許多哲學家和邏輯學家都覺得充分必要條件能夠「互置」:

P 是 Q 的充分條件     ⇔     如果 P 則 Q     ⇔     Q 是 P 的必要條件

例如, Richard Taylor (2011: 125-126) 在他的文章〈宿命論 (fatalism) 〉就表明「P 是 Q 的充分條件」與「Q 是 P 的必要條件」可以互換。可是,這個「互置」的特質配合充分、必要條件,就會出問題。

試想像熹少是個十分膽小的人,只要聽到狗吠一定會哭。我們會同意條件句:

  1. 如果狗吠,則熹少會哭

另一個條件句看來起也是真的: 

  1. 如果熹少沒有哭,則沒有狗吠

這情況可用「充分條件」來表達:

  1. 「狗吠」是「熹少哭」的充分條件

然而,如果用「必要條件」來表達,聽起來就有點奇怪:

  1. 「熹少哭」是「狗吠」的必要條件

原因在於,我們可以用「狗吠」來解釋「熹少哭」(比較 3 與 5),但卻不能用「熹少沒有哭」來解釋「沒有狗吠」(比較 4 與 6)。比如,如果有人問你熹少為甚麼哭,你大可答他「因為剛才有狗吠」;但如果有人問你為甚麼沒有狗吠,你大概不會說「因為熹少沒有哭」。借用 Wilson 的分區,我們可說 3 是解釋用的條件句──前項「狗吠」可解釋後項「熹少哭」──但 4 不是解釋用的條件句──前項「熹少沒有哭」不可解釋後項「沒有狗吠」。

不過, 3 和  4 都是推論用的條件句:如果狗吠,我們便有理由推論熹少會哭;如果熹少沒有哭,我們也可藉此推論沒有狗吠。解釋用和推論用的條件句分別對應到 Wilson 的「reason why」和「reason for thinking」。 Wilson 的文章沒有討論充分必要條件,我不清楚他對條件句的區分能否套到充分必要條件上,也不清楚如果他的區分能套到充分必要條件上,又會有甚麼後果。

第二個問題源於有次我和老師討論充分必要條件的定義,他即時提出類似的疑問(細節可能有異,責任歸我)。我當時想了幾個回應,但好像都有問題,現在還未想到確切的回應方法。

參考文獻:

  1. Akman, V. (2017). Burn all your textbooks. The Australasian Journal of Logic, 14(3), 378-382.
  2. Wilson, I. (1979). Explanatory and inferential conditionals. Philosophical Studies, 35(3), 269-278.
  3. Taylor, R. (2011). Fatalism. In S. M. Cahn, R. B. Talisse, & S. F. Aikin (Eds.), Thinking About Logic: Classical Essays (123-135). Westview Press. Originally published in 1962.

原刊於紫煙亭

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