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從模態邏輯看宿命論論證

2019/2/1 — 16:30

一、模態邏輯與宿命論論證

一公斤的棉花和一公斤的鐵哪個較重?明白這條問題馬上就會發現,一公斤的棉花和一公斤的鐵一樣重。這球十二碼會不會入?就算沒有看射球,誰也知道十二碼要麼入,要麼不入。明天天氣如何?我說不出明天的天氣,但我肯定,除非明天下雨,否則明天不下雨。此處提及的三個命題都是必然的:一公斤的棉花和一公斤的鐵必然一樣重、十二碼必然是要麼入要麼不入、除非明天下雨否則明天必然不下雨。在邏輯學,處理與必然性有關的邏輯稱為「模態邏輯 (modal logic) 」。

「模態邏輯」的「模態」譯自英文的「 modal 」和「 modality 」,這兩個字又源於「 modes 」。模態邏輯所說的「必然真」和「可能真」,其實就是不同的 modes of truth 。舉例來說,「梁振英在香港特首選舉取得 689 票」是個事實,但這個事實卻不是必然的,比如,他當初若能拉攏更多政客,他所得的票數便會多過 689 。換言之,梁振英事實上取得 689 票,但也有可能不是得到 689 票。相反,「 7+5=12 」不只是事實,而且必然是事實: 7+5 必然是 12 ,不可能不是 12 。「梁振英在香港特首選舉取得 689 票」與「 7+5=12 」雖然都是真的,但模態卻大不相同,前者僅僅是事實上真(有可能假),後者卻是必然地真(不可能假)。

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二十世紀的模態邏輯出現重大突破,時至今日幾乎每個邏輯學家都會學習模態邏輯,連研究形上學、語言哲學的分析哲學家也必須懂一些模態邏輯。然而,這套邏輯的源頭實可追溯到古希臘時代。古希臘的亞里士多德 (Aristotle) 被後世尊為形式邏輯之父,因為他最早研究三段論,開啟邏輯學處理論證結構的先河。事實上,除了三段論,亞里士多德也早已留意到模態論證,只是他當時在意的主要是宿命論 (fatalism) 成不成立,亦即是,到底發生在世上的事情是否命中註定、無可避免、必然會發生?

亞里士多德考察的宿命論論證,在今日堪稱「古典宿命論論證」。這論證有許多細節需要斟酌,但大意卻十分清晰。論證的第一步是任意取一件事件,例如「第三次世界大戰爆發」。緃使我們不能肯定會爆發第三次世界大戰,但我們可肯定只有兩個可能:

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1. 要麼第三次世界大戰爆發,要麼第三次世界大戰不爆發

第二和第三步是看起來明顯成立的條件句,分別針對那兩個可能性:

2. 如果第三次世界大戰爆發,則第三次世界大戰一定爆發

3. 如果第三次世界大戰不爆發,則第三次世界大戰一定不爆發

由於僅有的兩個可能都是必然的,得出第四步:

4. 要麼第三次世界大戰一定爆發,要麼第三次世界大戰一定不爆發

因為最初的事件「第三次世界大戰爆發」是任意取的,可隨意用其他事件代替,所以:不論是甚麼事情,會發生的全部都一定(無可避免)會發生。

這個宿命論論證的步驟不多,曾經說服了不少人,但邏輯學家現在都知道內裡其實有瑕疵。只是,要明確辨明問題所在,還得從幾個基本的模態邏輯概念著手。

二、從模態詞到可能世界

模態邏輯處理模態詞「必然」和「可能」,但甚麼是「必然」、甚麼是「可能」?現時的模態邏輯普遍採用德國哲學家萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 所提出的架構:

X 可能為真 = X 在至少一個可能世界為真
X 必然為真 = X 在所有可能世界為真

萊布尼茲提出的「可能世界」 (possible world) ,說的是現實世界有可能擁有的完整面貌。譬如,有一個可能世界,裡面有位戴紅帽留白鬚的老人家會在每年聖誕節乘著馴鹿四處派送禮物;又有一個可能世界,全身泛紫的外星人在彈指之間毀滅宇宙一半的生物;更有一個可能世界,恐龍滅亡之後地球接著解體,人類不曾存在過。「可能世界」指的就是這些有可能成真的世界;幾乎我們想像到的情況,都有一個相應的可能世界。在這理解底下,我們所身處的現實世界 (actual world) 不過是芸芸眾多可能世界的其中一個。

套用可能世界的框架,「 7+5=12 」之所以必然真,是由於它在所有可能世界都是真的;「梁振英在香港特首選舉取得689票」之所以不是必然真,則是由於它不是所有可能世界皆為真。在模態邏輯,方格「□」這個符號代表「必然/在所有可能世界」,菱形「 ◇ 」則代表「可能/在至少一個可能世界」。上述兩個命題可以用符號寫成:

□ (7+5=12)

◇ (梁振英在香港特首選舉不是取得 689 票)

前者意思是,必然地 7+5=12 —— 無論那個世界有沒有紅帽白鬚的老人、有沒有紫色外星人、有沒有解體的地球, 7+5 都是 12 。後者是,有可能梁振英在香港特首選舉不是取得 689 票 ── 亦即是,至少有一個可能世界,梁振英在那世界並非取得 689 票。(那世界或與現實世界極為相似,但決非現實世界,因為現實世界他取得了 689 票。)

三、必然可能二取其一

(一)、方格、菱形和蛇仔

模態邏輯書會用「□」和「 ◇ 」,但這兩個符號其實可以互相定義。這代表模態邏輯其實只要其中一個符號便足夠,前提是那套邏輯要有一個常見的概念:否定 (negation) 。我們用蛇仔「~」表示否定,看幾個例子:

P :明天下雨
~P :明天不下雨
~~P :明天不是不下雨

Q :7+5=12
~Q :7+5≠12
~~Q :並非 7+5≠12

R :梁振英取得 689 票
~R :梁振英沒有取得 689 票
~~R :梁振英不是沒有取得 689 票

蛇仔可以否定句子,自然也可以否定含有模態成分的句子。剛才說過,「梁振英取得 689 票」 (R) 不是必然真的,因此以下這句是假的 [1]

□ R
(必然地 梁振英取得 689 票)

要否定這句,只需在前面加上蛇仔:

~□ R
(並非 必然地 梁振英取得 689 票 ;或, 梁振英並不是必然取得 689 票)

(二)、「不可能」與「可能不」

同樣道理,「明天不可能下雨」也可用「~」配合「 ◇ 」來表達。首先,這句是在否定「明天下雨」 (P) 的可能性:

◇ P
(有可能 明天下雨)

在可能性前面加上蛇仔,就是「明天不可能下雨」的意思了:

~ ◇ P
(不 可能 明天下雨)

有兩點須留意。第一,「明天不可能下雨」的另一個說法是「明天一定不下雨」,因此這又可寫成:

□ ~P
(必然地 不是 明天下雨)

第二,「明天不可能下雨」和「明天可能不下雨」是兩回事。

~ ◇ P
(不 可能 明天下雨)

◇ ~P
(可能 不是 明天下雨)

「明天不可能下雨」的意思是,在所有可能世界,明天都沒有下雨。「明天可能不下雨」的意思則是,在至少一個可能世界,明天不下雨。前者說的是所有可能世界,後者說是至少一個可能世界。

(三)、模態詞二取一

由此可見,蛇仔可放在模態詞前,也可放在模態詞後。有些邏輯學家只從「□」和「」取一個來用,其實是因為有以下兩條定律:

□ = ~
◇ = ~□~

第一條定律是,「必然」等於「不可能不」,例如「 7+5 必然是 12 」等於「 7+5 不可能不是 12 」。第二條定律是,「可能」等於「不必然不」,例如「香港可能有老虎」等於「香港不是必然沒有老虎」。基於這兩條定律,模態邏輯只要有「□」和「」其中一個符號,便可以表達兩個符號所表達的。

這兩條定律也能用可能世界的框架來證明,但無興趣者可略過以下證明:

□ P
= 必然地,明天下雨
= 在所有可能世界,明天下雨
= 不存在一個可能世界,明天不下雨
= 不可能明天不下雨
= ~~ P

◇ P
= 有可能,明天下雨
= 至少在一個可能世界,明天下雨
= 並非在所有可能世界,明天都不下雨
= 明天不是必然不下雨
= ~□~ P

四、宿命論論證簡析

(一)、宿命論之立場

上文從模態邏輯整理出的概念工具已足夠處理宿命論論證,惟在分析宿命論論證前,還須先釐清宿命論的立場。

宿命論說的是「會發生的事情都是一定(無可避免)會發生」。這個「一定(無可避免)」自然要用「□」來表達。宿命論論證的結論是,無論 X 是甚麼事件,如果 X 會發生,則必然地 X 會發生,也就是:

如果 X ,則 □ X

其大意是,假如 X 發生,則 X 是在所有可能世界都發生的事(也就是無可避免、命中註定會發生的事)。這是整個議題核心所在,也是宿命論論證要證明的結論。

(二)、第一個詮釋

我們現在可回頭看宿命論論證首四步。為方便,且以「W」代表「第三次世界大戰爆發」。這個論證的第一步是:

1. 要麼第三次世界大戰爆發,要麼第三次世界大戰不爆發(要麼 W ,要麼 ~W)

第二步和第三步分別是針對「 W 發生」和「 W 沒有發生」兩個可能性:

2. 如果第三次世界大戰爆發,則第三次世界大戰一定爆發 (如果 W ,則 □ W)

3. 如果第三次世界大戰不爆發,則第三次世界大戰一定不爆發(如果 ~W ,則 □~W )

第二步的意思是,如果 W 發生,則 W 在所有可能世界都發生;第三步的意思是,如果 W 沒有發生,則 W 在所有可能世界都沒有發生。第一個可能性導出 W 在所有可能世界發生,第二個可能性導出 W 在所有可能世界都沒有發生,兩者結合便是:

4. 要麼第三次世界大戰一定爆發,要麼第三次世界大戰一定不爆發(要麼 □ W ,要麼 □~W  )

這四步的意思是,要麼 W 在所有可能世界發生,要麼 W 在所有可能世界都沒有發生。

用模態邏輯的符號重新組織一次,令第二步和第三步的意思更清楚。觀察力強的人應該已經發現,第二步和第三步根本就是宿命論論證企圖證明的結論!宿命論主張發生的事情都是必然的,所以支持者需要解釋,為甚麼事實上發生的事情會是在所有可能世界都發生,但第二和第三步卻直接假定了這點。換句話說,這個宿命論論證其實偷偷地將結論放在前提,犯了乞題謬誤 (the fallacy of begging the question,或曰「循環論證」) 。

(三)、第二個詮釋

有沒有辦法可以避免犯乞題謬誤?有,辦法是重新詮釋第二和第三步。既然將「□」置於條件句後半會乞題,何不將它移到整個條件句前面?如此一來,第二和第三步便是明顯正確而又沒有乞題的前提:

2. 必然地,如果第三次世界大戰爆發,則第三次世界大戰爆發 ( □  (如果 W ,則 W ))

3. 必然地,如果第三次世界大戰不爆發,則第三次世界大戰不爆發 ( □ (如果 ~W ,則 ~W ))

第二步的意思成了,在所有可能世界,如果 W 發生,則 W 發生;第三步是,在所有可能世界,如果 W 沒有發生,則 W 沒有發生。

可是,一旦我們這樣詮釋宿命論論證,首三步卻是怎樣也推不出第四步。因為第二、三步說穿了,意思不過是:所有爆發第三次大戰的可能世界都爆發第三次大戰,所有沒爆發第三次大戰的可能世界都沒爆發第三次大戰,但究竟有多少個可能世界爆發(或沒爆發)大戰,卻是未知之數──比如,這兩步容許有五個可能世界爆發大戰,同時有五個可能世界沒爆發大戰,所以有沒有爆發世界大戰並非必然的。由此可見,首三步無法推出第四步,也就是推不出「要麼所有可能世界都爆發第三次大戰,要麼所有可能世界都沒爆發第三次大戰」。(情況好比,由「所有男人都是男人」和「所有女人都是女人」,推不出「所有人都是男人,或所有人都是女人」。)

五、總結

亞里士多德所檢視的古典宿命論論證有兩個詮釋。在第一個詮釋底下,第二、三步是乞題的,不可用來推導結論。在第二個詮釋底下,頭三步聯合起來也無法推出第四步,同樣導不出結論。當代的模態邏輯利用「□」和「 ◇ 」來釐定「必然」和「可能」的意思和範圍,再用可能世界的數量來定義「□」和「 ◇ 」。一旦有此概念工具,便可明確地指出古典宿命論論證的毛病。

註:
[1] 中文的空格是為對應符號的結構,所以「□ R」底下的中文是「必然地 梁振英取得 689 票」。

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