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樂透悖論:理性怎麼了?我可以同時合理相信「有一張彩券會中獎」與「所有彩券都沒中獎」?

2017/12/8 — 13:21

資料圖片:Lottery電影片段截圖

資料圖片:Lottery電影片段截圖

理性是個好東西,它有時候可以幫助我們思考什麼是應該追求的目標,比方說,在道德哲學中,康德主義認為我們可以透過理性來辨識道德原則。有時候也可以幫助我們建立起手段與目的之間的連結,比方說,如果我想要達到 X ,而且做 Y 是達到 X 最有效率的方法,則我應該做 Y 。

我們可以說,在生命的各個時刻,人類都十分仰賴理性的運作,理性幫助我們解決許多難題,當然,在哲學這類學科中,更是極度需要理性運作。然而,有時候理性反而帶給我們難題,讓我們陷入進退兩難的處境。在這篇文章中,我要介紹一個當代知識論中的著名悖論「樂透悖論 (lottery paradox) 」[1],這個悖論顯示了一個有趣的現象:從一些我們認為可以合理接受的原則出發思考問題,反而得出不合理的結果。

在介紹樂透悖論前,首先讓我們來看看有哪些原則是一般認為可以被合理接受的:

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(一)合理相信原則

如果命題 P 對主體 S 來說非常可能是真的,則命題 P 是可以被主體 S 合理相信的。

這個原則看起來滿合理的,對我而言,如果我可以判斷某個命題 P 很可能是真的,那麼我當然可以合理相信它。舉例來說,當我看到桌上放了一杯水,對我而言「桌上有一杯水」是一個非常可能為真的命題,因為我擁有正常的視覺能力,這項能力可靠地帶給我許多真信念。

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(二)封閉性原則

如果 P 可以被 S 合理相信,而且 Q 也可以被 S 合理相信,則 P 與 Q 邏輯上蘊含的結果也可以被S合理相信。

這個原則乍看之下比較複雜一點,但理解起來其實一點都不困難。舉例來說,如果「 A 房有 100 人」可以被我合理相信,而且「 A 房都是未滿 12 歲的小孩」可以被我合理相信,那麼,基於「 A 房有 100 人」與「 A 房都是未滿 12 歲的小孩」這兩個命題邏輯上蘊含「 A 房有 100 個未滿 12 歲的小孩」,因此,「 A 房有 100 個未滿 12 歲的小孩」可以被我合理相信。從這個簡單例子中,我們可以看到此原則好像也滿合理的。

(三)信念不矛盾原則

S 永遠不能合理相信一組邏輯上矛盾的命題。

這個原則看起來好像更沒有爭議了,我們大概都會同意一個在內容上矛盾的命題不會是真的,這也是為什麼說別人「講話矛盾」是一種批評他人的手段。當有人告訴你「今天有下雨,而且今天沒有下雨」時,我們可以立刻判斷這句話為假,而不需要去確認今天到底是什麼天氣,因為我們相信這個世界上不存在有使矛盾命題為真的情況,而這樣的預設似乎天生就內建在我們的認知系統中。

這三個關於信念的原則看起來都是合理的,但是它們合在一起就出問題了!接下來讓我們看看為什麼它們合起來會產生樂透悖論,首先,樂透悖論背後的故事來自於以下的樂透案例:

【樂透案例】

假設某期樂透共發行一萬張公平的樂透彩券,編號從 1 號到 10000 號。在這一萬張彩券中,有而且只有一張彩券會中獎。假設我手上有一張編號 57 的彩券,那麼,根據我所擁有的資訊,我知道以下兩件事情:

A:有而且只有一張彩券會中獎

B:「編號 57 號彩券沒中獎」非常可能是真的。

配合這兩項資訊,以及前面提到的幾個原則,我們可以構造出樂透悖論:

【樂透悖論】

1. 我可以合理相信「有一張彩券會中獎」。

2. 我可以合理相信「編號 57 號彩券沒中獎」。

3. 如果我可以合理相信「編號 57 號彩券沒中獎」,則我也可以合理相信「編號1號彩券沒中獎」,也可以合理相信「編號 2 號彩券沒中獎」……也可以合理相信「編號 10000 號彩券沒中獎」。

4. 我可以合理相信「編號 1 號彩券沒中獎」,也可以合理相信「編號 2 號彩券沒中獎」……也可以合理相信「編號 10000 號彩券沒中獎」。

5. 如果我可以合理相信「編號 1 號彩券沒中獎」,也可以合理相信「編號 2 號彩券沒中獎」……也可以合理相信「編號 10000 號彩券沒中獎」,則我可以合理相信「編號 1 號彩券沒中獎,而且編號 2 號彩券沒中獎,……而且編號 10000 號彩券沒中獎」

6. 我可以合理相信「編號 1 號彩券沒中獎,而且編號 2 號彩券沒中獎,……而且編號 10000 號彩券沒中獎」。

7. 如果我可以合理相信「編號 1 號彩券沒中獎,而且編號2號彩券沒中獎,……而且編號 10000 號彩券沒中獎」,則我可以合理相信「所有彩券都沒中獎」。

8. 我可以合理相信「所有彩券都沒中獎」。

9. 我可以合理相信「有一張彩券會中獎」,而且我可以合理相信「所有彩券都沒中獎」。

簡單說明一下這個論證中各前提成立原因:

1 是由資訊 A 得出; 2 是由 B 與合理相信原則得出; 3 之所以成立,原因在於,每一個編號的彩券對我來說沒中獎的機率都是一樣的,因此,如果我可以合理相信 57 號沒中獎,那基於同樣的理由,我可以個別合理相信每一個號碼都沒中獎; 4 是由 2 與 3 共同得出; 5 是由封閉性原則得出; 6 是由 4 與 5 共同推出; 7 是概念上為真; 8 是由 6 與 7 共同得出; 9 是由 1 與 8 得出,而且 9 違反了信念不矛盾原則。

從這個論證中我們可以看到,如果接受合理相信原則與封閉性原則,那麼我們就得放棄信念不矛盾原則,因為在樂透悖論中,前面兩個原則會得出違反信念不矛盾原則的結果,我們要放棄這個原則嗎?或者說,我們有能力放棄這個原則嗎?反之,如果我們想保留信念不矛盾原則,這代表我們至少要放棄合理相信原則與封閉性原則其中一個,才能夠讓這個論證失敗。但是放棄這兩個原則的代價看起來也很大,不論放棄哪一個,都會很大程度的限縮我們的合理信念。每一個原則都難以抉擇,這也是為什麼樂透案例會成為悖論的原因。

從樂透悖論中,我們看出這三個原則不能同時成立,問題:我們應該放棄哪一個?我們有好理由放棄它嗎?如果每一個原則看起來都非常合理,但是彼此間卻不能互相調和,那麼理性到底怎麼了?

參考資料

Cohen, S. (2009). “Relevant Alternatives”. Dancy, J., Sosa, E., & Steup, M. (Eds.). A companion to epistemology. John Wiley & Sons.

Kyburg, H. (1961). Probability and the Logic of Rational Belief. Middletown: Wesleyan University Press.

註腳

[1] 樂透悖論最早可以追溯到 Kyburg (1961) 出版的「機率以及合理信念的邏輯 (Probability and the Logic of Rational Belief) 」一書。

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