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一位非數學老師給安祖老師的信

2015/6/15 — 11:07

【文:Francis Yin 一位非數學老師】

 

安祖老師,

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您好。今日在網路上看到您所寫的《數學老師給湯家驊議員的公開信》,作爲一名曾在大學修讀數學專業、現在從事政治與傳媒方面研究的研究人員,不由產生興趣,進而認真拜讀。但令我失望的是,您在指出湯議員錯誤的同時,自己卻同樣犯了嚴重的錯誤。看到您的文章在網路上廣爲流傳,我雖然并非數學老師,卻也覺得有必要指出您的錯誤。

容我覆述一下您的分析:

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三大民調的樣本數目, 大約爲1100人,如果只計贊成和反對的人數, 每次均爲900多人。那麽每天公布結果時,可以出現贊成和反對的組合,(由1:899, 2:898, 3:897.....數到899:1), 就只有900多個,加上贊成和反對的比例長期維持35-50%上下,從未離開過這個範圍,即有可能出現的結果只有一百多個,每個結果只有約1/150的機會出現,絕非閣下認爲的幾百萬份之一。

先不論您犯的一些小錯誤(例如忽略了0:900的情形),我要指出的是,您實際上和湯議員犯了一個同樣的致命性錯誤:那就是沒有正確理解何謂等概率(機會率、或然率等等)或者說隨機(random)。你們都認爲,等概率的是民調結果中不同的數字組合(例如1:899或者2:898),不同之處在於湯議員認爲組合的總數是幾百萬(因此出現一半一半的概率是幾百萬分之一),而您認爲總數是900左右。

我建議您重溫一下大學所學的統計課程,特別是隨機抽樣(Random Sampling)和二項分佈(Binomial Distribution)這兩章。您會發現,我們所要討論的是這樣一個問題:假設總體分佈爲成功率p的Bernoulli distribution,從總體中抽取一個樣本量爲n的樣本,成功次數爲k的概率多大?書本上應該清楚寫著這個公式:F(k;n,p)=C(k n)pk(1-p)n-k,其中C(k n)是從n個元素中取k個的組合數。

這個問題最直觀的例子就是:一枚銅板投擲n(比如900)次,出現一半正面一半反面的可能性多大?按照您的計算,應該是1/901,和其他任何比例(例如衹有一次正面)。但是,普通人憑直覺也知道,銅板正面和反面的比例應該非常接近,而衹有一次正面是很不可能的。這是因爲,每次擲銅板,出現正面的機會都是1/2(即p=1/2),那麽在大量重複這個實驗時,正面的比例滿足以1/2爲中心的normal distribution,很大機會非常接近1/2,而非常不可能等於1/n。

在民調中,抽取一個受訪者就等於擲一次銅板,出現正面的可能就是總體中支持政改的比例(p)。在這個概率模型中,真正等可能的不是一種支持率的組合,而是一種支持者和反對者的分布。例如,您認爲1:899和2:888是等可能的,但事實上前者有C(1 900)即900種可能的分布(1號支持,2號支持……900號支持),而後者有C(2 900)種可能的分布(1、2號支持,1、3號支持……)是前者的幾百倍!

現在我們姑且假設p=1/2吧(和擲銅板一樣),問題就是:如果真的是一半人支持政改一半人反對,那麽民調結果是一半一半的概率多大?對於900人的民調,結果是C(450 900)/21000,我無法給出具體值,但是肯定大於您的結果。原因是,p=1/2時,越是接近平手的民調結果,出現的可能性越大,而不是您認爲的都是1/(n+1)。

也許有人會說了:這樣計算,出現平手的概率豈不更大,不是更證明了湯議員的錯誤?湯議員當然錯了,他自己也已承認,可您作爲數學老師也錯了。而在數學上如果計算過程錯了,那就是錯了,沒有誰「更對」一說。

更重要的是,實際上我們是不知道p的(知道了就不需要民調了!),因而根本無法計算真正的「出現平手的概率」。當p不同,這個結果也會不同,可能很高(接近1),也不排除出現「幾百萬分之一」甚至更低的可能。

所以,在數學上根本無法用「出現平手的概率」去質疑或者支持民調的可信度,判斷民點可信度的依據主要是其方法。湯議員和您,都試圖用數學計算去證明某個民調結果可能或不可能,但這其實是數學不可能完成的任務!你們是否在内心已經假設了某種政治正確的民意,然後以此去判斷民調是否可信?

在數學上解釋清楚之後,我還想多說幾句。作爲一位數學老師,您不可能沒學過概率基本理論(二項分布在高中即會學到),怎會犯如此低級錯誤?您是否應該向讀者和您的學生道歉呢?

我建議您道歉,首先是您錯誤的計算一方面會誤導不瞭解統計科學的讀者,另一方面又可能影響數學老師的形象。事實上,您所運用的計算,不超出小學數學範圍,而您特意强調了自己數學老師的職務,那麽就應更謹慎地去進行計算。

其次,正如前面所説,您和湯議員都錯誤地運用數學來討論民調,這也會影響到市民對於民調的認知和討論。民調乃是用統計方法估計民意的一種方法,不能先在内心假設了某種民意的存在或合理,然後再以此去判斷民調。

最後,更重要的是,您的文章已被大量轉發,而引發不少人士都以數學來進行爭論,可是這些爭論卻是建立在錯誤的基礎上!這是否會引致這樣一種風氣:科學知識不是用幫助討論的理性,而衹是成爲羞辱對方的工具,衹要結論政治正確,過程就無關緊要?

當然,犯錯人人難免。而您作爲一綫老師應該知道,最重要的是犯錯之後能勇敢改正。我相信您是一位負責任的老師,一位理性的討論者,所以若您能坦承自己的錯誤,應該會給您的學生以及許多讀者更正面的引導。

期待您理性的回應。

謹頌 教祺


一位非數學老師Francis Yin

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